Produits scalaires dans R 2
Pour tous vecteurs X =
x
y
et X
=
x
y
de R
2 , posons
X · X
= pxx
+ q(xy
+ x
y) + ryy
, où p, q, r sont des nombres réels donnés.
Cette expression est symétrique en X , X
, autrement dit X · X
= X
· X ; de plus,
les valeurs dépendent linéairement du couple (x, y), donc pour X
fixé, l’application
X → X · X
est linéaire. Pour que X · X
définisse un produit scalaire, il faut encore
que l’expression X · X = px
2 + 2qxy + ry
2 ne prenne que des valeurs strictement
positives, sauf si x = y = 0. Cela exige que ni x, ni y ne soit en facteur, donc p et
r doivent être différents de 0. Puisqu’on a alors
px
2 + 2qxy + ry
2 = p
x +
q
p
y
2 +
rp − q
2
p
2
y
2
X · X sera strictement positif pour tout X = 0 si et seulement si p > 0 et rp − q
2 > 0,
c’est-à-dire si p > 0 et si le discriminant q
2
− rp de px
2 + 2qxy + ry
2 est négatif.
Supposons p > 0 et q
2
− rp < 0 .
L’expression X · X
est alors un produit scalaire sur R
2 . On a
pxx
+ q(xy
+ x
y) + ryy
= x(px
+ qy
) + y(qx
+ ry
) = [ x y ]
px
+ qy
qx
+ ry
,
donc
X · X
= [ x y ]
p q
q r
x
y
.
La matrice A =
p q
q r
est symétrique ; son déterminant pr − q
2 est par hypothèse
non nul, donc A est inversible.
Norme d'un vecteur. Par définition, on a X =
√
X · X =
px 2 + 2qxy + ry 2 .
Soit M le point de coordonnées (x, y). Pour que le vecteur
− − − − − − − →
OM soit de norme 1,
il faut et il suffit que M soit sur la courbe d’équation px
2 + 2qxy + ry
2 = 1 : cette
courbe est une ellipse centrée à l’origine (page 219).
Vecteurs orthogonaux à un vecteur non nul (a, b) donné. L’orthogonalité des
vecteurs (x,y) et (a,b) s’exprime par 0 = [ x y ]
p q
q r
a
b
= x(pa + qb) + y(qa + rb).
La matrice A est inversible et le vecteur (a,b) est supposé non nul, donc le vecteur
A
a
b
=
pa + qb
qa + rb
n’est pas nul non plus. L’équation x(pa+qb)+y(qa+rb) = 0 représente donc une droite vectorielle du plan : c’est la droite vectorielle orthogonale
au vecteur (a, b) pour notre produit scalaire.
Exemple. Prenons A =
p 0
0 r
, où p et r sont des nombres strictement positifs. La
matrice A définit le produit scalaire X · X
= pxx
+ ryy
.
202 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE
Pour tous vecteurs X =
x
y
et X
=
x
y
de R
2 , posons
X · X
= pxx
+ q(xy
+ x
y) + ryy
, où p, q, r sont des nombres réels donnés.
Cette expression est symétrique en X , X
, autrement dit X · X
= X
· X ; de plus,
les valeurs dépendent linéairement du couple (x, y), donc pour X
fixé, l’application
X → X · X
est linéaire. Pour que X · X
définisse un produit scalaire, il faut encore
que l’expression X · X = px
2 + 2qxy + ry
2 ne prenne que des valeurs strictement
positives, sauf si x = y = 0. Cela exige que ni x, ni y ne soit en facteur, donc p et
r doivent être différents de 0. Puisqu’on a alors
px
2 + 2qxy + ry
2 = p
x +
q
p
y
2 +
rp − q
2
p
2
y
2
X · X sera strictement positif pour tout X = 0 si et seulement si p > 0 et rp − q
2 > 0,
c’est-à-dire si p > 0 et si le discriminant q
2
− rp de px
2 + 2qxy + ry
2 est négatif.
Supposons p > 0 et q
2
− rp < 0 .
L’expression X · X
est alors un produit scalaire sur R
2 . On a
pxx
+ q(xy
+ x
y) + ryy
= x(px
+ qy
) + y(qx
+ ry
) = [ x y ]
px
+ qy
qx
+ ry
,
donc
X · X
= [ x y ]
p q
q r
x
y
.
La matrice A =
p q
q r
est symétrique ; son déterminant pr − q
2 est par hypothèse
non nul, donc A est inversible.
Norme d'un vecteur. Par définition, on a X =
√
X · X =
px 2 + 2qxy + ry 2 .
Soit M le point de coordonnées (x, y). Pour que le vecteur
− − − − − − − →
OM soit de norme 1,
il faut et il suffit que M soit sur la courbe d’équation px
2 + 2qxy + ry
2 = 1 : cette
courbe est une ellipse centrée à l’origine (page 219).
Vecteurs orthogonaux à un vecteur non nul (a, b) donné. L’orthogonalité des
vecteurs (x,y) et (a,b) s’exprime par 0 = [ x y ]
p q
q r
a
b
= x(pa + qb) + y(qa + rb).
La matrice A est inversible et le vecteur (a,b) est supposé non nul, donc le vecteur
A
a
b
=
pa + qb
qa + rb
n’est pas nul non plus. L’équation x(pa+qb)+y(qa+rb) = 0 représente donc une droite vectorielle du plan : c’est la droite vectorielle orthogonale
au vecteur (a, b) pour notre produit scalaire.
Exemple. Prenons A =
p 0
0 r
, où p et r sont des nombres strictement positifs. La
matrice A définit le produit scalaire X · X
= pxx
+ ryy
.
202 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE