L'espace euclidien R n . Dans l’espace vectoriel R
n , la même formule
u · u
= x 1 x
1 + x 2 x
2 + · · · + x n x
n si u = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) et u
= (x
1 , x
2 , . . . , x
n )
définit un produit scalaire : on dit que R
n , muni de ce produit scalaire, est l’espace
euclidien R
n usuel ; la norme de u est u = (x
2
1 + x
2
2 + · · · + x
2
n )
1/2 .
Pour des vecteurs-colonne U et U
de R
n , le produit scalaire usuel s’écrit
U · U
= (
t U )U
= (
t U
)U .
® On a u − u
2 = (x 1 − x
1 )
2 + · · · + (x n − x
n )
2 , donc |x i − x
i | u − u
pour tout i.
® Il s’ensuit que si les vecteurs u et u
sont tels que u − u
< ε, alors leurs coordonnées diffèrent au plus de ε. La norme de u − u
est donc une mesure de
l’écart entre les vecteurs u et u
.
L’espace euclidien R
3 est l’espace de la géométrie euclidienne ordinaire.
Exemples
® Dans l’espace euclidien R
2 , la norme d’un vecteur (a, b) est
√
a 2 + b 2 : les vecteurs
de norme 1 sont donc de la forme (cos θ, sin θ) (figure 1).
® Dans l’espace euclidien R
3 , un vecteur (a,b,c) est de norme 1 si l’on a a
2 +b
2 +c
2 =1,
donc a
2 + b
2 = cos
2 ϕ et c = sin ϕ : les vecteurs de norme 1 sont de la forme
(cos θ cos ϕ, sin θ cos ϕ, sin ϕ), où ϕ est entre −π/2 et π/2.
x
y
cos θ
sin θ
θ
figure 1
c
a
b
x
y
z
=
ϕ
sinϕ
θ
figure 2
Définissons maintenant la notion de vecteurs orthogonaux.
Définition
Soient u et v des vecteurs d’un espace hermitien ou euclidien. On dit que u et v
sont orthogonaux si u · v = 0.
® Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de V .
® Il n’y a que le vecteur nul qui est orthogonal à lui-même : en effet, d’après la
positivité du produit hermitien, l’égalité u · u = 0 implique u = 0.
® Si un vecteur u est orthogonal à des vecteurs v 1 ,v 2 ,. . .,v k , il est orthogonal à toute
combinaison linéaire de v 1 , v 2 , . . . , v k , d’après la linéarité du produit hermitien.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 201