Définitions
Un produit hermitien sur V est la donnée pour tous vecteurs u et u
appartenant
à V , d’un nombre u · u
∈ K, avec les propriétés suivantes :
i) « symétrie hermitienne » : u · u
= u · u
ii) linéarité par rapport au premier vecteur :
(u 1 + u 2 ) · u
= u 1 · u
+ u 2 · u
(λu) · u
= λ(u · u
) pour tout λ ∈ K
iii) « semi-linéarité » par rapport au second vecteur :
u · (u
1 + u
2 ) = u · u
1 + u · u
2 et u · (λu
) = λ(u · u
) pour tout λ ∈ K,
formules qui résultent de (i) et (ii)
iv) positivité : u·u est un nombre réel strictement positif si u n’est pas le vecteur nul.
Le nombre réel
√
u · u s’appelle la norme hermitienne de u et se note u.
Si K = R, alors u · u
est un nombre réel ; on dit que u · u
est un produit scalaire
et que u est la norme euclidienne.
En faisant λ = 0 dans (ii) et (iii), on obtient u · 0 = 0 · u = 0 pour tout vecteur u.
Définitions
Un C-espace vectoriel muni d’un produit hermitien s’appelle un espace hermitien.
Un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire s’appelle un espace euclidien.
L'espace hermitien C n . On définit un produit hermitien sur C
n en posant,
pour tous vecteurs u = (z 1 , z 2 , . . . , z n ) et u
= (z
1 , z
2 , . . . , z
n ) appartenant à C
n ,
u · u
= z 1 z
1 + z 2 z
2 + · · · + z n z
n
Les propriétés de symétrie hermitienne et de linéarité par rapport au premier vecteur
sont vérifiées ; de plus, le nombre
u · u = z 1 z 1 + z 2 z 2 + · · · + z n z n = |z 1 |
2 + |z 2 |
2 + · · · + |z n |
2
est strictement positif si les z i ne sont pas tous nuls.
Nous dirons que C
n , muni de ce produit hermitien, est l’espace hermitien C
n usuel.
Pour des vecteurs-colonne U et U
appartenant à C
n , on a l’expression matricielle
U · U
= [ z 1 z 2 · · · z n ]
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
z
1
z
2
. . .
z
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= (
t U )U ,
où U s’obtient en conjuguant les coefficients de U
.
200 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE