Chapitre 7
Espace hermitien,
espace euclidien
Nous allons définir dans un cadre assez général les notions de vecteurs orthogonaux et
de distance. Rappelons que dans l’espace vectoriel R
3 , le produit scalaire des vecteurs
u=(x,y,z) et u
=(x
,y
,z
) est défini par u·u
=xx
+yy
+zz
et que la norme euclidienne
de u est le nombre
√
u · u =
x 2 + y 2 + z 2 . Les propriétés du produit scalaire sont
® la symétrie : u · u
= u
· u ;
® la linéarité par rapport à chaque vecteur : on a en effet
(u 1 + u 2 ) · u
= u 1 · u
+ u 2 · u
(λu) · u
= λ(u · u
) pour tout λ ∈ R
ce qui assure, par symétrie, la linéarité par rapport au deuxième vecteur ;
® la positivité : u · u > 0 si u n’est pas le vecteur nul.
Certaines applications se traitent de manière naturelle dans un C-espace vectoriel :
c’est pourquoi nous formulerons les définitions dans le cadre général d’un K-espace
vectoriel, où K désigne R ou C.
1. Produit hermitien et produit scalaire
Dans ce paragraphe, V est un K-espace vectoriel. Si z est un élément de K, z désigne
le conjugué de z : on a donc z = z ⇐⇒z ∈R ; rappelons que le module de z, c’est-à-dire
la valeur absolue si z est réel, est le nombre réel positif ou nul |z| tel que |z|
2 = zz .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 199