quantité u qu’on peut choisir, de diminuer y d’autant et d’augmenter z de ku,
où k est un coefficient constant.
(i) Le paramètre u sert de variable de contrôle. Montrer que ce système linéaire
contrôlé s’écrit X → AX + Bu, où B =
1
−1
k
.
(ii) Calculer la matrice de commandabilité et montrer que si k = 1, le système n’est
pas commandable.
(iii) Calculer les deux autres valeurs de k pour lesquelles le système n’est pas
commandable.
(iv) Le coefficient k vaut 0,1 et l’on a x 0 = 0,17, y 0 = 1,42, z 0 = 0,88. Quelles
quantités u 0 , u 1 , u 2 faut-il utiliser pour obtenir x 3 = 1,2, y 3 = 0,6, z 3 = 0,9 ?
12. Si G est un graphe de sommets {s 1 , s 2 , . . . , s n }, sa matrice d’incidence est la matrice
M = [m ij ] carrée de taille n définie par : m ij = 1 si les sommets s i et s j sont
adjacents, m ij = 0 sinon.
Si k est un entier positif, un parcours de longueur k dans G est une suite de
k sommets adjacents ; notons m ij (k) le coefficient en position i-ème ligne, j -ème
colonne dans la matrice M
k .
a) Quelle est la matrice d’incidence du graphe (g) ci-contre ?
s 1
s 2
s 3
s 4
graphe (g)
b) Pour un graphe général, montrer que m ij (2) = m i1 m 1j + m i2 m 2j + · · · + m in m nj .
En déduire que m ij (2) est le nombre de parcours de longueur 2 du sommet s i
au sommet s j .
c) Montrer que m ij (k) est le nombre de parcours de longueur k du sommet s i au
sommet s j (raisonner par récurrence).
d) Notons A la matrice d’incidence du graphe (g).
(i) Montrer que A
n est de la forme
⎡
⎣
a n b n b n a n
b n x n y n b n
b n y n x n b n
a n b n b n a n
⎤
⎦ , où a n+1 =2b n et b n+1 =b n +4b n−1 .
(ii) De combien de façons peut-on aller de s 1 à s 2 en six pas ? De s 4 à s 4 en sept
pas ? De s 2 à s 4 en sept pas ?
198 – EXERCICES
où k est un coefficient constant.
(i) Le paramètre u sert de variable de contrôle. Montrer que ce système linéaire
contrôlé s’écrit X → AX + Bu, où B =
1
−1
k
.
(ii) Calculer la matrice de commandabilité et montrer que si k = 1, le système n’est
pas commandable.
(iii) Calculer les deux autres valeurs de k pour lesquelles le système n’est pas
commandable.
(iv) Le coefficient k vaut 0,1 et l’on a x 0 = 0,17, y 0 = 1,42, z 0 = 0,88. Quelles
quantités u 0 , u 1 , u 2 faut-il utiliser pour obtenir x 3 = 1,2, y 3 = 0,6, z 3 = 0,9 ?
12. Si G est un graphe de sommets {s 1 , s 2 , . . . , s n }, sa matrice d’incidence est la matrice
M = [m ij ] carrée de taille n définie par : m ij = 1 si les sommets s i et s j sont
adjacents, m ij = 0 sinon.
Si k est un entier positif, un parcours de longueur k dans G est une suite de
k sommets adjacents ; notons m ij (k) le coefficient en position i-ème ligne, j -ème
colonne dans la matrice M
k .
a) Quelle est la matrice d’incidence du graphe (g) ci-contre ?
s 1
s 2
s 3
s 4
graphe (g)
b) Pour un graphe général, montrer que m ij (2) = m i1 m 1j + m i2 m 2j + · · · + m in m nj .
En déduire que m ij (2) est le nombre de parcours de longueur 2 du sommet s i
au sommet s j .
c) Montrer que m ij (k) est le nombre de parcours de longueur k du sommet s i au
sommet s j (raisonner par récurrence).
d) Notons A la matrice d’incidence du graphe (g).
(i) Montrer que A
n est de la forme
⎡
⎣
a n b n b n a n
b n x n y n b n
b n y n x n b n
a n b n b n a n
⎤
⎦ , où a n+1 =2b n et b n+1 =b n +4b n−1 .
(ii) De combien de façons peut-on aller de s 1 à s 2 en six pas ? De s 4 à s 4 en sept
pas ? De s 2 à s 4 en sept pas ?
198 – EXERCICES