c) Notons U n le vecteur-colonne de R
4 de coordonnées P (X n =0), P (X n =1),
P (X n =2), P (X n =3). Montrer que l’on a U n+1 = AU n , où A =
⎡
⎢
⎣
1 8/27 1/27 0
0 4/9 2/9 0
0 2/9 4/9 0
0 1/27 8/27 1
⎤
⎥
⎦.
d) Soit V = [ 0 1 2 3 ]. Calculer V A. Montrer que l’espérance de X n est V U n . Montrer que cette espérance ne dépend pas de n et qu’en moyenne, on prélève toujours
une seule bactérie de type A.
e) Montrer que les vecteurs canoniques E 1 et E 4 sont vecteurs propres de A. Calculer toutes les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés. En déduire
que A est diagonalisable.
f) Montrer que l’on a U n = A
n U 0 . Quel est le vecteur U 0 ? Calculer A
n . En déduire
que la loi de X n est donnée par
P (X n =0) = 2
3
− 1
2
2
3
n − 1
6
2
9
n
, P(X n =1) = 1
2
2
3
n
+
2
9
n
P (X n =2) = 1
2
2
3
n −
2
9
n
, P(X n =3) = 1
3
− 1
2
2
3
n
+ 1
6
2
9
n
g) On note F n la proportion de bactéries de type A dans l’éprouvette numéro n.
Montrer que F n = X n /3. En déduire les probabilités pour que F n soit égal à 0,
à 1/3, à 2/3, à 1. Montrer qu’il y a une probabilité 1/3 pour qu’après un grand
nombre de prélèvements, il n’y ait que des bactéries de type A dans l’éprouvette.
11
@ . Un exemple de système contrôlé. En Biologie, de nombreux transferts de substances
sont régis par la loi d’action de masse : par unité de temps, la quantité de substance passant d’un compartiment tissulaire c vers un autre est proportionnelle à la
quantité présente dans c.
Considérons une substance qui diffuse dans trois compartiments tissulaires. En
notant x, y, z les quantités de substance dans chaque compartiment, on suppose
que l’évolution journalière du vecteur X =
x
y
z
est donnée par X
− X = MX ,
où M =
−0,8 0,4 0,4
0,3 −1 0,7
0,5 0,4 −0,9
(les coefficients de M déterminent les diffusions entre
les trois compartiments). On mesure les quantités initiales x 0 , y 0 , z 0 et l’on note
X n =
x n
y n
z n
le vecteur-quantité au bout de n jours.
a) Calculer la matrice A telle que X n+1 = AX n . Quels sont ses valeurs propres et
ses vecteurs propres ?
b) Quelle sont les limites des quantités x n , y n , z n quand n devient grand ?
c) On peut intervenir chaque jour sur les quantités x, y, z en effectuant des injections
médicamenteuses : chaque injection a pour effet d’augmenter x d’une certaine
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 197
4 de coordonnées P (X n =0), P (X n =1),
P (X n =2), P (X n =3). Montrer que l’on a U n+1 = AU n , où A =
⎡
⎢
⎣
1 8/27 1/27 0
0 4/9 2/9 0
0 2/9 4/9 0
0 1/27 8/27 1
⎤
⎥
⎦.
d) Soit V = [ 0 1 2 3 ]. Calculer V A. Montrer que l’espérance de X n est V U n . Montrer que cette espérance ne dépend pas de n et qu’en moyenne, on prélève toujours
une seule bactérie de type A.
e) Montrer que les vecteurs canoniques E 1 et E 4 sont vecteurs propres de A. Calculer toutes les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés. En déduire
que A est diagonalisable.
f) Montrer que l’on a U n = A
n U 0 . Quel est le vecteur U 0 ? Calculer A
n . En déduire
que la loi de X n est donnée par
P (X n =0) = 2
3
− 1
2
2
3
n − 1
6
2
9
n
, P(X n =1) = 1
2
2
3
n
+
2
9
n
P (X n =2) = 1
2
2
3
n −
2
9
n
, P(X n =3) = 1
3
− 1
2
2
3
n
+ 1
6
2
9
n
g) On note F n la proportion de bactéries de type A dans l’éprouvette numéro n.
Montrer que F n = X n /3. En déduire les probabilités pour que F n soit égal à 0,
à 1/3, à 2/3, à 1. Montrer qu’il y a une probabilité 1/3 pour qu’après un grand
nombre de prélèvements, il n’y ait que des bactéries de type A dans l’éprouvette.
11
@ . Un exemple de système contrôlé. En Biologie, de nombreux transferts de substances
sont régis par la loi d’action de masse : par unité de temps, la quantité de substance passant d’un compartiment tissulaire c vers un autre est proportionnelle à la
quantité présente dans c.
Considérons une substance qui diffuse dans trois compartiments tissulaires. En
notant x, y, z les quantités de substance dans chaque compartiment, on suppose
que l’évolution journalière du vecteur X =
x
y
z
est donnée par X
− X = MX ,
où M =
−0,8 0,4 0,4
0,3 −1 0,7
0,5 0,4 −0,9
(les coefficients de M déterminent les diffusions entre
les trois compartiments). On mesure les quantités initiales x 0 , y 0 , z 0 et l’on note
X n =
x n
y n
z n
le vecteur-quantité au bout de n jours.
a) Calculer la matrice A telle que X n+1 = AX n . Quels sont ses valeurs propres et
ses vecteurs propres ?
b) Quelle sont les limites des quantités x n , y n , z n quand n devient grand ?
c) On peut intervenir chaque jour sur les quantités x, y, z en effectuant des injections
médicamenteuses : chaque injection a pour effet d’augmenter x d’une certaine
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 197