Observer que les vecteurs-colonne de M ∞ sont des vecteurs propres de M pour
la valeur propre 1. En déduire que l’on a lim
n →+∞
(M
2n+1 ) = MM ∞ = M ∞ et donc
M ∞ = lim
n →+∞
(M
n ).
e) On part d’une situation initiale où toutes les particules occupent de manière équiprobables les états e 1 , e 2 , e 3 . Montrer qu’après un grand nombre de changements
d’état, les particules occupent presque toutes les états e 4 et e 5 , dont 62% dans
l’état e 4 et 38% dans l’état e 5 .
8. Quelques règles sur les valeurs propres. Soit M une matrice carrée de taille n.
a) Soient λ 1 , . . . , λ p les valeurs propres de M . Montrer que si a est un scalaire,
les valeurs propres de aM sont les nombres aλ i et que les valeurs propres de
M + aI n sont les λ i + a.
b) Montrer que si λ est valeur propre de M , alors pour tout entier positif q, λ
q est valeur propre de M
q . En déduire qu’une matrice nilpotente n’a que la valeur propre 0.
9
@ . Matrice presque triangulaire. Soit M une matrice carrée de la forme
où les coefficients b 1 , . . . , b n−1 , situés juste sous la diagonale, sont tous non nuls.
a) Montrer que le rang de M est n ou n − 1 (considérer la sous-matrice obtenue en
supprimant la première ligne et la dernière colonne).
b) En déduire que les sous-espaces propres de M sont de dimension 1 (appliquer
(a) à la matrice M − λI n ).
10
@ . Une suite de variables aléatoires binomiales. Une éprouvette contient trois bactéries,
dont une de type A et deux de type B. On les laisse se reproduire en très grand
nombre, la proportion de bactéries de chaque type restant inchangée. On prélève
alors trois bactéries au hasard que l’on met en culture dans une autre éprouvette. On
répète plusieurs fois ces opérations et l’on veut étudier le nombre X n de bactéries
de type A dans l’échantillon qui a été prélevé dans la (n−1)-ième culture (la culture
initiale porte le numéro 0).
a) Montrer que la probabilité pour qu’on ait prélevé h bactéries de type A dans
l’éprouvette initiale est P (X 1 =h) =
3
h
(1/3)
h (2/3)
3−h , où h vaut 0, 1, 2 ou 3.
b) Soit k l’un des entiers 0, 1, 2 ou 3. Montrer que la probabilité pour que X n+1 = k
sachant que X n = h est
3
k
(h/3)
k (1 − h/3)
3−k . En déduire l’égalité
P (X n+1 =k) =
3
h=0
3
k
(h/3)
k (1 − h/3)
3−k P (X n =h) .
196 – EXERCICES
la valeur propre 1. En déduire que l’on a lim
n →+∞
(M
2n+1 ) = MM ∞ = M ∞ et donc
M ∞ = lim
n →+∞
(M
n ).
e) On part d’une situation initiale où toutes les particules occupent de manière équiprobables les états e 1 , e 2 , e 3 . Montrer qu’après un grand nombre de changements
d’état, les particules occupent presque toutes les états e 4 et e 5 , dont 62% dans
l’état e 4 et 38% dans l’état e 5 .
8. Quelques règles sur les valeurs propres. Soit M une matrice carrée de taille n.
a) Soient λ 1 , . . . , λ p les valeurs propres de M . Montrer que si a est un scalaire,
les valeurs propres de aM sont les nombres aλ i et que les valeurs propres de
M + aI n sont les λ i + a.
b) Montrer que si λ est valeur propre de M , alors pour tout entier positif q, λ
q est valeur propre de M
q . En déduire qu’une matrice nilpotente n’a que la valeur propre 0.
9
@ . Matrice presque triangulaire. Soit M une matrice carrée de la forme
où les coefficients b 1 , . . . , b n−1 , situés juste sous la diagonale, sont tous non nuls.
a) Montrer que le rang de M est n ou n − 1 (considérer la sous-matrice obtenue en
supprimant la première ligne et la dernière colonne).
b) En déduire que les sous-espaces propres de M sont de dimension 1 (appliquer
(a) à la matrice M − λI n ).
10
@ . Une suite de variables aléatoires binomiales. Une éprouvette contient trois bactéries,
dont une de type A et deux de type B. On les laisse se reproduire en très grand
nombre, la proportion de bactéries de chaque type restant inchangée. On prélève
alors trois bactéries au hasard que l’on met en culture dans une autre éprouvette. On
répète plusieurs fois ces opérations et l’on veut étudier le nombre X n de bactéries
de type A dans l’échantillon qui a été prélevé dans la (n−1)-ième culture (la culture
initiale porte le numéro 0).
a) Montrer que la probabilité pour qu’on ait prélevé h bactéries de type A dans
l’éprouvette initiale est P (X 1 =h) =
3
h
(1/3)
h (2/3)
3−h , où h vaut 0, 1, 2 ou 3.
b) Soit k l’un des entiers 0, 1, 2 ou 3. Montrer que la probabilité pour que X n+1 = k
sachant que X n = h est
3
k
(h/3)
k (1 − h/3)
3−k . En déduire l’égalité
P (X n+1 =k) =
3
h=0
3
k
(h/3)
k (1 − h/3)
3−k P (X n =h) .
196 – EXERCICES