a) Trouver deux valeurs propres réelles. Factoriser le polynôme caractéristique en
produit de deux polynômes de degré 2.
b) On suppose a = −s = 3, p = 5 et d = −1. Calculer les valeurs propres et les vecteurs
propres de M . Montrer que M est diagonalisable. (il y a quatre valeurs propres)
5
@ . Ces matrices sont diagonalisables : pourquoi ? (les nombres t, a, b, c, x, y, θ sont réels)
e
t e
t
− 1 e
t
− e
−t
0
1
1− e
−t
0
0
e
−t
;
1
a
b
0 2 + x
2
c
0
0
−2 − y
2
;
0
1 e
i θ
1
0 i
e
− i θ
− i 0
.
6
@ . Soit M = (1/2)
5 1 −2
1 5 −2
0 0 4
.
a) Quelles sont les valeurs propres des matrices M et M t = M − tI 3 , où t ∈ R ? Pour
quelles valeurs de t les matrices (M t )
n tendent-elles vers 0 quand n tend vers
l’infini ?
b) Posons A = M 5/2 , B =
a
b
c
et U =
x
y
z
. Calculer la limite des itérés du vecteur
U par la transformation X → AX + B.
7
@ . Recherche d'un régime stationnaire. On se place dans des conditions expérimentales où
des particules peuvent occuper cinq états e 1 ,. . .,e 5 . Les états e 4 et e 5 sont stables. Toute
particule occupant l’état e 1 ou e 3 bascule dans l’un des états e 2 , e 4 ou e 5 de manière
équiprobable ; de même pour une particule dans l’état e 2 vers les états e 1 , e 3 ou e 4 .
a) Dessiner un graphe où les sommets symbolisent les états et les arcs les changements
d’état. Quelle est la matrice M de transition ?
b) Montrer que M
2 =
⎡
⎣ U
0
P
I 2
⎤
⎦ , où U est une matrice carrée de taille 3 et P une
matrice à deux lignes et trois colonnes. Montrer par récurrence que pour tout entier
n 1, on a M
2n =
⎡
⎣ U n
0
P n
I 2
⎤
⎦ , où U n =
u n 0 u n
0 2u n 0
u n 0 u n
, P n =
a n b n a n
c n d n c n
et
u n+1 = 2
9
u n , a n+1 = 8
9
u n +a n , b n+1 = 10
9
u n +b n , c n+1 = 2
3
u n +c n , d n+1 = 4
9
u n +d n .
c) Calculer u n et s n = u 1 + u 2 + · · · + u n−1 . En déduire l’expression des coefficients
a n , b n , c n et d n en fonction de n.
d) Montrer que les matrices M
2n ont pour limite la matrice
M ∞ =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
4/7 5/7 4/7
3/7 2/7 3/7
I 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 195
produit de deux polynômes de degré 2.
b) On suppose a = −s = 3, p = 5 et d = −1. Calculer les valeurs propres et les vecteurs
propres de M . Montrer que M est diagonalisable. (il y a quatre valeurs propres)
5
@ . Ces matrices sont diagonalisables : pourquoi ? (les nombres t, a, b, c, x, y, θ sont réels)
e
t e
t
− 1 e
t
− e
−t
0
1
1− e
−t
0
0
e
−t
;
1
a
b
0 2 + x
2
c
0
0
−2 − y
2
;
0
1 e
i θ
1
0 i
e
− i θ
− i 0
.
6
@ . Soit M = (1/2)
5 1 −2
1 5 −2
0 0 4
.
a) Quelles sont les valeurs propres des matrices M et M t = M − tI 3 , où t ∈ R ? Pour
quelles valeurs de t les matrices (M t )
n tendent-elles vers 0 quand n tend vers
l’infini ?
b) Posons A = M 5/2 , B =
a
b
c
et U =
x
y
z
. Calculer la limite des itérés du vecteur
U par la transformation X → AX + B.
7
@ . Recherche d'un régime stationnaire. On se place dans des conditions expérimentales où
des particules peuvent occuper cinq états e 1 ,. . .,e 5 . Les états e 4 et e 5 sont stables. Toute
particule occupant l’état e 1 ou e 3 bascule dans l’un des états e 2 , e 4 ou e 5 de manière
équiprobable ; de même pour une particule dans l’état e 2 vers les états e 1 , e 3 ou e 4 .
a) Dessiner un graphe où les sommets symbolisent les états et les arcs les changements
d’état. Quelle est la matrice M de transition ?
b) Montrer que M
2 =
⎡
⎣ U
0
P
I 2
⎤
⎦ , où U est une matrice carrée de taille 3 et P une
matrice à deux lignes et trois colonnes. Montrer par récurrence que pour tout entier
n 1, on a M
2n =
⎡
⎣ U n
0
P n
I 2
⎤
⎦ , où U n =
u n 0 u n
0 2u n 0
u n 0 u n
, P n =
a n b n a n
c n d n c n
et
u n+1 = 2
9
u n , a n+1 = 8
9
u n +a n , b n+1 = 10
9
u n +b n , c n+1 = 2
3
u n +c n , d n+1 = 4
9
u n +d n .
c) Calculer u n et s n = u 1 + u 2 + · · · + u n−1 . En déduire l’expression des coefficients
a n , b n , c n et d n en fonction de n.
d) Montrer que les matrices M
2n ont pour limite la matrice
M ∞ =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
4/7 5/7 4/7
3/7 2/7 3/7
I 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 195