Exercices
1
@ . Polynômes prenant des valeurs entières sur les entiers
a) On considère des polynômes P 0 , P 1 , . . . , P n tels que P i est de degré i. Montrer
que ces polynômes sont indépendants.
b) Montrer que tout polynôme P de degré au plus n s’écrit de manière unique
P (z)=a 0 +a 1
z
1!
+a 2
z(z−1)
2!
+· · ·+a n
z(z−1) · · · (z−n + 1)
n!
, où les a i sont des nombres.
c) On suppose que dans l’expression ci-dessus, tous les coefficients a i sont des entiers
relatifs. Montrer que si q est un nombre entier quelconque, alors P (q) est entier.
2
@ . Calcul des sommes 1
q + 2
q + · · · + k
q . Notons P n l’espace vectoriel des polynômes
à coefficients réels et de degré au plus n (donc dim P n = n + 1).
a) Montrer que si P est un polynôme de degré k, alors le polynôme P (z) − P (z − 1)
est de degré au plus k − 1. Dans la suite, on considère l’application f : P n → P n
qui à tout polynôme P (z) associe le polynôme P (z) − P (z − 1).
b) Montrer que l’application f est linéaire.
c) Montrer que le noyau de f est constitué des polynômes constants. En déduire que
l’image de f est constituée des polynômes de degré au plus n − 1.
d) Soit q un entier tel que 0 < q n − 1. Montrer qu’il existe un unique polynôme P q
de degré q + 1 tel que P q (z) − P q (z − 1) = z
q et P q (0) = 0. Calculer les polynômes
P 1 , P 2 , P 3 .
e) Montrer que pour tout entier k 1, on a 1
q + 2
q + · · · + k
q = P q (k).
3
@ . Posons A =
a b
c d
, où b = 0.
a) Montrer que les vecteurs propres de A sont les solutions (x, y) non nulles de
l’équation cx
2 +(d − a)xy − by
2 = 0. En déduire que les pentes des vecteurs propres
réels sont solutions de l’équation bt
2
− (d − a)t − c = 0.
b) On suppose que tous les coefficients de la matrice sont des nombres positifs ou nuls.
(i) Montrer que les valeurs propres sont réelles et qu’au moins l’une d’elles est
positive ou nulle.
(ii) Montrer qu’il existe un vecteur propre de pente positive ou nulle et à coordonnées
positives ou nulles.
Pour une matrice carrée de taille quelconque à coefficients positifs ou nuls, il existe
au moins un vecteur propre à coordonnées positives ou nulles, associé à la valeur
propre de plus grand module (théorème de Perron-Frobenius).
4
@ . On considère la matrice M =
⎡
⎣
a b c d
0 1 0 0
0 0 −1 0
p q r s
⎤
⎦ .
194 – EXERCICES
1
@ . Polynômes prenant des valeurs entières sur les entiers
a) On considère des polynômes P 0 , P 1 , . . . , P n tels que P i est de degré i. Montrer
que ces polynômes sont indépendants.
b) Montrer que tout polynôme P de degré au plus n s’écrit de manière unique
P (z)=a 0 +a 1
z
1!
+a 2
z(z−1)
2!
+· · ·+a n
z(z−1) · · · (z−n + 1)
n!
, où les a i sont des nombres.
c) On suppose que dans l’expression ci-dessus, tous les coefficients a i sont des entiers
relatifs. Montrer que si q est un nombre entier quelconque, alors P (q) est entier.
2
@ . Calcul des sommes 1
q + 2
q + · · · + k
q . Notons P n l’espace vectoriel des polynômes
à coefficients réels et de degré au plus n (donc dim P n = n + 1).
a) Montrer que si P est un polynôme de degré k, alors le polynôme P (z) − P (z − 1)
est de degré au plus k − 1. Dans la suite, on considère l’application f : P n → P n
qui à tout polynôme P (z) associe le polynôme P (z) − P (z − 1).
b) Montrer que l’application f est linéaire.
c) Montrer que le noyau de f est constitué des polynômes constants. En déduire que
l’image de f est constituée des polynômes de degré au plus n − 1.
d) Soit q un entier tel que 0 < q n − 1. Montrer qu’il existe un unique polynôme P q
de degré q + 1 tel que P q (z) − P q (z − 1) = z
q et P q (0) = 0. Calculer les polynômes
P 1 , P 2 , P 3 .
e) Montrer que pour tout entier k 1, on a 1
q + 2
q + · · · + k
q = P q (k).
3
@ . Posons A =
a b
c d
, où b = 0.
a) Montrer que les vecteurs propres de A sont les solutions (x, y) non nulles de
l’équation cx
2 +(d − a)xy − by
2 = 0. En déduire que les pentes des vecteurs propres
réels sont solutions de l’équation bt
2
− (d − a)t − c = 0.
b) On suppose que tous les coefficients de la matrice sont des nombres positifs ou nuls.
(i) Montrer que les valeurs propres sont réelles et qu’au moins l’une d’elles est
positive ou nulle.
(ii) Montrer qu’il existe un vecteur propre de pente positive ou nulle et à coordonnées
positives ou nulles.
Pour une matrice carrée de taille quelconque à coefficients positifs ou nuls, il existe
au moins un vecteur propre à coordonnées positives ou nulles, associé à la valeur
propre de plus grand module (théorème de Perron-Frobenius).
4
@ . On considère la matrice M =
⎡
⎣
a b c d
0 1 0 0
0 0 −1 0
p q r s
⎤
⎦ .
194 – EXERCICES