1.2 Base orthonormée
Dans un espace hermitien, les combinaisons linéaires de vecteurs deux à deux
orthogonaux conduisent à des calculs plus simples.
Proposition.
® Si u 1 ,u 2 ,. . .,u n sont des vecteurs de V deux à deux orthogonaux, alors u 1 +u 2 +· · ·+u n
2 =
u 1
2 + u 2
2 + · · · + u n
2
(formule de Pythagore).
® Des vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux sont indépendants.
Démonstration. La première propriété se démontre par récurrence sur le nombre de vecteurs,
en utilisant le théorème de Pythagore (page 203). Supposons que les vecteurs u 1 , . . . , u n sont
deux à deux orthogonaux et tous non nuls, et soient x i des scalaires. Pour tout p = 1, 2, · · · , n,
on a par linéarité
(x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n ) · u p = x 1 (u 1 · u p ) + x 2 (u 2 · u p ) + · · · + x n (u n · u p ) = x p (u p · u p )
car u i · u p = 0 si i = p. Si x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0, alors x p (u p · u p ) = 0. On en déduit
x p = 0, car, u p n’étant pas le vecteur nul, on a u p · u p = 0.
Supposons que V est de dimension finie.
Définition
Une base e 1 , e 2 , . . . , e n de V est dite orthonormée si les vecteurs e i sont deux à
deux orthogonaux et de norme 1.
D’après la proposition, pour que des vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e n forment une base orthonormée d’un espace hermitien V de dimension n, il faut et il suffit qu’ils appartiennent à
V , qu’ils soient deux à deux orthogonaux et tous de norme 1.
Exemples
® La base canonique de R
n est une base orthonormée pour le produit scalaire usuel.
® Les vecteurs
cos θ
sin θ
,
− sin θ
cos θ
forment une base orthonormée de l’espace euclidien
R
2 .
® Les vecteurs e 1 =
cos θ cos ϕ
sin θ cos ϕ
sin ϕ
, e 2 =
cos θ sin ϕ
sin θ sin ϕ
− cos ϕ
, e 3 =
− sin θ
cos θ
0
forment une
base orthonormée de R
3 .
Remarque
Si e est un vecteur non nul de V , le vecteur e
= (1/e)e est de norme 1, car d’après
les propriétés de la norme, on a e
= (1/e)e = 1. Si des vecteurs sont non nuls
et deux à deux orthogonaux, alors en les divisant par leur norme, on obtient des
vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme 1.
Proposition. Si e 1 , e 2 , . . . , e n est une base orthonormée de V , alors pour tout vecteur
v ∈ V , on a v = (v · e 1 )e 1 + (v · e 2 )e 2 + · · · + (v · e n )e n .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 205
Dans un espace hermitien, les combinaisons linéaires de vecteurs deux à deux
orthogonaux conduisent à des calculs plus simples.
Proposition.
® Si u 1 ,u 2 ,. . .,u n sont des vecteurs de V deux à deux orthogonaux, alors u 1 +u 2 +· · ·+u n
2 =
u 1
2 + u 2
2 + · · · + u n
2
(formule de Pythagore).
® Des vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux sont indépendants.
Démonstration. La première propriété se démontre par récurrence sur le nombre de vecteurs,
en utilisant le théorème de Pythagore (page 203). Supposons que les vecteurs u 1 , . . . , u n sont
deux à deux orthogonaux et tous non nuls, et soient x i des scalaires. Pour tout p = 1, 2, · · · , n,
on a par linéarité
(x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n ) · u p = x 1 (u 1 · u p ) + x 2 (u 2 · u p ) + · · · + x n (u n · u p ) = x p (u p · u p )
car u i · u p = 0 si i = p. Si x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0, alors x p (u p · u p ) = 0. On en déduit
x p = 0, car, u p n’étant pas le vecteur nul, on a u p · u p = 0.
Supposons que V est de dimension finie.
Définition
Une base e 1 , e 2 , . . . , e n de V est dite orthonormée si les vecteurs e i sont deux à
deux orthogonaux et de norme 1.
D’après la proposition, pour que des vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e n forment une base orthonormée d’un espace hermitien V de dimension n, il faut et il suffit qu’ils appartiennent à
V , qu’ils soient deux à deux orthogonaux et tous de norme 1.
Exemples
® La base canonique de R
n est une base orthonormée pour le produit scalaire usuel.
® Les vecteurs
cos θ
sin θ
,
− sin θ
cos θ
forment une base orthonormée de l’espace euclidien
R
2 .
® Les vecteurs e 1 =
cos θ cos ϕ
sin θ cos ϕ
sin ϕ
, e 2 =
cos θ sin ϕ
sin θ sin ϕ
− cos ϕ
, e 3 =
− sin θ
cos θ
0
forment une
base orthonormée de R
3 .
Remarque
Si e est un vecteur non nul de V , le vecteur e
= (1/e)e est de norme 1, car d’après
les propriétés de la norme, on a e
= (1/e)e = 1. Si des vecteurs sont non nuls
et deux à deux orthogonaux, alors en les divisant par leur norme, on obtient des
vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme 1.
Proposition. Si e 1 , e 2 , . . . , e n est une base orthonormée de V , alors pour tout vecteur
v ∈ V , on a v = (v · e 1 )e 1 + (v · e 2 )e 2 + · · · + (v · e n )e n .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 205