Supposons que les coordonnées de V dépendent linéairement de m paramètres réels
u 1 ,u 2 ,. . .,u m : nous dirons que le vecteur U =
⎡
⎣
u 1
. . .
u m
⎤
⎦ est le vecteur de contrôle. Notre
hypothèse est que V dépend du vecteur de contrôle par une relation de la forme
V = BU , où B est une matrice à n lignes et m colonnes. La transformation s’écrit
X → AX + BU
et s’appelle un système linéaire contrôlé. Si l’on choisit successivement U 0 ,U 1 ,U 2 ,. . .,U k−1
comme vecteurs de contrôle, un vecteur initial X 0 est transformé en
X 1 = AX 0 + BU 0 , X 2 = AX 1 + BU 1 , ... , X k = AX k−1 + BU k−1 .
Voici l’une des questions qui se pose à propos de la suite des vecteurs X k :
à partir d’un vecteur initial quelconque, peut-on atteindre un vecteur
objectif donné à l’avance en choisissant convenablement les commandes ?
Définition
Le système linéaire contrôlé X → AX + BU est commandable si pour tous vecteurs
X 0 et X f appartenant à R
n , il existe dans R
m une suite finie de commandes
U 0 , U 1 , . . . , U k−1 telle que X k = X f .
Si l’on part du vecteur X 0 , on obtient X 1 = AX 0 + BU 0 , X 2 = A
2 X 0 + ABU 0 + BU 1
et en général :
(∗)
X k = A
k X 0 + A
k−1 BU 0 + A
k−2 BU 1 + · · · + ABU k−2 + BU k−1
Définition
La matrice de commandabilité est la matrice C = [ A
n−1 B A
n−2 B · · · AB B ] obtenue en juxtaposant les colonnes des n matrices A
n−1 B, A
n−2 B, . . . , AB, B. La
matrice C possède n lignes et nm colonnes.
Critère de commandabilité. Le système linéaire contrôlé X → AX + BU est commandable si et seulement si sa matrice de commandabilité est de rang n.
Cette propriété signifie que les lignes de la matrice C sont indépendantes, ou que
parmi les nm colonnes de C , on peut en trouver n indépendantes.
Pour démontrer le critère, nous avons besoin d’un résultat préliminaire général sur
les matrices carrées.
Lemme. Soit A ∈ M n (K). Pour tout entier k 0, la matrice A
k est combinaison linéaire
des matrices I n , A, A
2 , . . . , A
n−1 .
Démonstration. D’après le théorème de Cayley-Hamilton (page 152), il existe des nombres
λ i tels que A
n + λ 1 A
n−1 + · · · + λ n−1 A + λ n I n = 0 : la matrice A
n est donc combinaison
linéaire de I n , A, . . . , A
n−1 . Si une matrice A
k est combinaison linéaire de I n , A, . . . , A
n−1 ,
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 191
u 1 ,u 2 ,. . .,u m : nous dirons que le vecteur U =
⎡
⎣
u 1
. . .
u m
⎤
⎦ est le vecteur de contrôle. Notre
hypothèse est que V dépend du vecteur de contrôle par une relation de la forme
V = BU , où B est une matrice à n lignes et m colonnes. La transformation s’écrit
X → AX + BU
et s’appelle un système linéaire contrôlé. Si l’on choisit successivement U 0 ,U 1 ,U 2 ,. . .,U k−1
comme vecteurs de contrôle, un vecteur initial X 0 est transformé en
X 1 = AX 0 + BU 0 , X 2 = AX 1 + BU 1 , ... , X k = AX k−1 + BU k−1 .
Voici l’une des questions qui se pose à propos de la suite des vecteurs X k :
à partir d’un vecteur initial quelconque, peut-on atteindre un vecteur
objectif donné à l’avance en choisissant convenablement les commandes ?
Définition
Le système linéaire contrôlé X → AX + BU est commandable si pour tous vecteurs
X 0 et X f appartenant à R
n , il existe dans R
m une suite finie de commandes
U 0 , U 1 , . . . , U k−1 telle que X k = X f .
Si l’on part du vecteur X 0 , on obtient X 1 = AX 0 + BU 0 , X 2 = A
2 X 0 + ABU 0 + BU 1
et en général :
(∗)
X k = A
k X 0 + A
k−1 BU 0 + A
k−2 BU 1 + · · · + ABU k−2 + BU k−1
Définition
La matrice de commandabilité est la matrice C = [ A
n−1 B A
n−2 B · · · AB B ] obtenue en juxtaposant les colonnes des n matrices A
n−1 B, A
n−2 B, . . . , AB, B. La
matrice C possède n lignes et nm colonnes.
Critère de commandabilité. Le système linéaire contrôlé X → AX + BU est commandable si et seulement si sa matrice de commandabilité est de rang n.
Cette propriété signifie que les lignes de la matrice C sont indépendantes, ou que
parmi les nm colonnes de C , on peut en trouver n indépendantes.
Pour démontrer le critère, nous avons besoin d’un résultat préliminaire général sur
les matrices carrées.
Lemme. Soit A ∈ M n (K). Pour tout entier k 0, la matrice A
k est combinaison linéaire
des matrices I n , A, A
2 , . . . , A
n−1 .
Démonstration. D’après le théorème de Cayley-Hamilton (page 152), il existe des nombres
λ i tels que A
n + λ 1 A
n−1 + · · · + λ n−1 A + λ n I n = 0 : la matrice A
n est donc combinaison
linéaire de I n , A, . . . , A
n−1 . Si une matrice A
k est combinaison linéaire de I n , A, . . . , A
n−1 ,
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 191