Puisqu’on a par hypothèse w j =λv j pour tout j , il vient |λ||v q |=|λv q |=|w q ||v q |. Or v q
n’est pas nul, car V n’est pas le vecteur nul. Donc |λ|1, ce qui démontre la propriété (3).
Étude d'une suite de transitions
Supposons pour simplifier que 1 est valeur propre simple de M , que −1 n’est pas
valeur propre et que M est diagonalisable. Notons V un vecteur propre de M pour
la valeur propre 1.
D’après ces hypothèses, la matrice de X → MX dans une base convenable de vecteurs
propres est de la forme D = diag(1,λ 2 ,. . .,λ k ), avec |λ i | < 1 pour tout i 2. En appelant
Q la matrice des vecteurs propres, on a M = QDQ
−1 et donc M
n = QD
n Q
−1 . Quand
n tend vers l’infini, λ
n
i tend vers 0, donc D
n tend vers Δ = diag(1, 0, . . . , 0) et QD
n
tend vers QΔ. La première colonne de QΔ est la première colonne de Q, c’est-à-dire le
vecteur propre V , et les autres colonnes sont nulles. Il s’ensuit que M
n = QD
n Q
−1 tend
vers la matrice QΔQ
−1 = [ V 0 · · · 0 ] Q
−1 dont toutes les colonnes sont colinéaires à
V . Puisque M
n est une matrice de transitions, la somme des coefficients d’une colonne
quelconque vaut 1. On en déduit :
la limite de M
n est la matrice dont toutes les colonnes sont égales à
(1/s)V , où s la somme des coefficients de V .
Reprenons la matrice de transitions de l’exemple précédent.
Le polynôme caractéristique de M est (1/200)(z − 1)(200z
2
− 10z − 17) et les valeurs
propres sont 1, (1/40)(1 ±
√
137), ces deux dernières valeurs valant à peu près 0,317
et −0,267. À partir de n = 5, les deux premières décimales des coefficients de M
n
restent stables : à 10
−2 près, on obtient
lim
n →+∞
(M
n ) =
0,40 0,40 0,40
0,31 0,31 0,31
0,28 0,28 0,28
Qu’un individu soit à l’origine malade, infecté ou sain, la probabilité pour qu’au
bout de six semaines il soit encore malade est d’environ 0,4, la probabilité pour qu’il
soit seulement infecté est d’environ 0,31 et la probabilité pour qu’il soit sain est d’un
peu plus de 0,28. La colonne V de la matrice lim n →+∞ M
n est vecteur propre de
M pour la valeur propre 1 : on a MV = V . Cela veut dire que la répartition 40%
de malades, 31% d’infectés et 29% de sains reste stable au cours du temps. Ce que
l’on a montré, c’est que quelles que soient les proportions initiales de sujets malades,
infectés ou sains, la population évolue probablement vers cette répartition stable.
5.4 Itérations affines commandables
On rencontre souvent des transformations de R
n de la forme X → AX + V , où la
matrice A ∈ M n (R) est constante et où V est un vecteur de R
n dont on peut faire
varier les coordonnées.
190 – APPLICATIONS
n’est pas nul, car V n’est pas le vecteur nul. Donc |λ|1, ce qui démontre la propriété (3).
Étude d'une suite de transitions
Supposons pour simplifier que 1 est valeur propre simple de M , que −1 n’est pas
valeur propre et que M est diagonalisable. Notons V un vecteur propre de M pour
la valeur propre 1.
D’après ces hypothèses, la matrice de X → MX dans une base convenable de vecteurs
propres est de la forme D = diag(1,λ 2 ,. . .,λ k ), avec |λ i | < 1 pour tout i 2. En appelant
Q la matrice des vecteurs propres, on a M = QDQ
−1 et donc M
n = QD
n Q
−1 . Quand
n tend vers l’infini, λ
n
i tend vers 0, donc D
n tend vers Δ = diag(1, 0, . . . , 0) et QD
n
tend vers QΔ. La première colonne de QΔ est la première colonne de Q, c’est-à-dire le
vecteur propre V , et les autres colonnes sont nulles. Il s’ensuit que M
n = QD
n Q
−1 tend
vers la matrice QΔQ
−1 = [ V 0 · · · 0 ] Q
−1 dont toutes les colonnes sont colinéaires à
V . Puisque M
n est une matrice de transitions, la somme des coefficients d’une colonne
quelconque vaut 1. On en déduit :
la limite de M
n est la matrice dont toutes les colonnes sont égales à
(1/s)V , où s la somme des coefficients de V .
Reprenons la matrice de transitions de l’exemple précédent.
Le polynôme caractéristique de M est (1/200)(z − 1)(200z
2
− 10z − 17) et les valeurs
propres sont 1, (1/40)(1 ±
√
137), ces deux dernières valeurs valant à peu près 0,317
et −0,267. À partir de n = 5, les deux premières décimales des coefficients de M
n
restent stables : à 10
−2 près, on obtient
lim
n →+∞
(M
n ) =
0,40 0,40 0,40
0,31 0,31 0,31
0,28 0,28 0,28
Qu’un individu soit à l’origine malade, infecté ou sain, la probabilité pour qu’au
bout de six semaines il soit encore malade est d’environ 0,4, la probabilité pour qu’il
soit seulement infecté est d’environ 0,31 et la probabilité pour qu’il soit sain est d’un
peu plus de 0,28. La colonne V de la matrice lim n →+∞ M
n est vecteur propre de
M pour la valeur propre 1 : on a MV = V . Cela veut dire que la répartition 40%
de malades, 31% d’infectés et 29% de sains reste stable au cours du temps. Ce que
l’on a montré, c’est que quelles que soient les proportions initiales de sujets malades,
infectés ou sains, la population évolue probablement vers cette répartition stable.
5.4 Itérations affines commandables
On rencontre souvent des transformations de R
n de la forme X → AX + V , où la
matrice A ∈ M n (R) est constante et où V est un vecteur de R
n dont on peut faire
varier les coordonnées.
190 – APPLICATIONS