Exemple. Dans une population exposée à une maladie transmissible non mortelle,
distinguons trois catégories : les malades, les individus qui sont infectés mais ne
développent pas la maladie et ceux qui restent sains. Une étude statistique montre que
– sur 100 individus sains, 30 tombent malades la semaine suivante, 20 deviennent
simplement infectés et 50 restent sains ;
– sur 100 individus infectés, 70 développent la maladie dans la semaine ; de plus,
un individu infecté ne redevient pas sain immédiatement, faute de soins ;
– sur 100 malades, 40 restent infectés la semaine suivante et 35 sont guéris.
Formons la matrice de transitions (les changements d’état étant hebdomadaires) : la
première colonne correspond aux transitions depuis l’état « malade » (M), la deuxième
depuis l’état « infecté » (I) et la troisième depuis l’état « sain » (S).
Les coefficients de la première colonne sont donc : la probabilité p 11 = 0,25 de rester
à l’état (M), la probabilité p 21 = 0,4 de passer de l’état (M) à l’état (I) et la probabilité
p 31 = 0,35 de passer (M) à (S).
De même, nous écrivons dans la deuxième colonne les probabilités p 12 , p 22 et p 32 de
passer de l’état (I) aux états (M), (I), (S), et dans la troisième colonne les probabilités
de transition de (S) vers (M), (I), (S). On obtient M =
⎡
⎣
0,25 0,70 0,30
0,40 0,30 0,20
0,35 0 0,50
⎤
⎦ .
Dans chaque colonne, la somme des coefficients vaut évidemment 1.
Propriétés d'une matrice de transitions
Soit M = [p ij ] une matrice de transitions de taille k.
Propriété 1. Les coefficients de M sont positifs ou nuls et dans chaque colonne, la
somme des coefficients vaut 1.
En effet, les coefficients de la j -ième colonne sont les différentes probabilités de
transition depuis l’état j : leur somme est donc 1.
Cela veut dire que si
t U est le vecteur-ligne dont tous les coefficients sont égaux à 1,
on a (
t U )M =
t U , ou encore en transposant (
t M )U = U . Ainsi 1 est valeur propre
de
t M , donc de M , car des matrices transposées ont même polynôme caractéristique
(page 152). Énonçons cette propriété.
Propriété 2. La transformation X → MX a pour valeur propre 1.
Propriété 3. Les valeurs propres de M sont de valeur absolue inférieure ou égale à 1.
Soit λ une valeur propre de M . Puisque
t M et M ont mêmes valeurs propres, λ est
valeur propre de
t M , donc il existe un vecteur-colonne non nul V tel que (
t M )V =λV ,
ou encore, en transposant, (
t V )M = λ
t V . Notons v 1 , v 2 , . . . , v k les coordonnées de V
et soit v q une coordonnée de plus grande valeur absolue, donc |v j | |v q | quel que
soit j = 1, 2, . . . , k. Posons [ w 1 w 2 · · · w k ] = (
t V )M . On a pour tout j
|w j | = |v 1 p 1j + v 2 p 2j + · · · + v k p kj | |v 1 |p 1j + |v 2 |p 2j + · · · + |v k |p kj
|v q |p 1j + |v q |p 2j + · · · + |v q |p kj = |v q | .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 189
distinguons trois catégories : les malades, les individus qui sont infectés mais ne
développent pas la maladie et ceux qui restent sains. Une étude statistique montre que
– sur 100 individus sains, 30 tombent malades la semaine suivante, 20 deviennent
simplement infectés et 50 restent sains ;
– sur 100 individus infectés, 70 développent la maladie dans la semaine ; de plus,
un individu infecté ne redevient pas sain immédiatement, faute de soins ;
– sur 100 malades, 40 restent infectés la semaine suivante et 35 sont guéris.
Formons la matrice de transitions (les changements d’état étant hebdomadaires) : la
première colonne correspond aux transitions depuis l’état « malade » (M), la deuxième
depuis l’état « infecté » (I) et la troisième depuis l’état « sain » (S).
Les coefficients de la première colonne sont donc : la probabilité p 11 = 0,25 de rester
à l’état (M), la probabilité p 21 = 0,4 de passer de l’état (M) à l’état (I) et la probabilité
p 31 = 0,35 de passer (M) à (S).
De même, nous écrivons dans la deuxième colonne les probabilités p 12 , p 22 et p 32 de
passer de l’état (I) aux états (M), (I), (S), et dans la troisième colonne les probabilités
de transition de (S) vers (M), (I), (S). On obtient M =
⎡
⎣
0,25 0,70 0,30
0,40 0,30 0,20
0,35 0 0,50
⎤
⎦ .
Dans chaque colonne, la somme des coefficients vaut évidemment 1.
Propriétés d'une matrice de transitions
Soit M = [p ij ] une matrice de transitions de taille k.
Propriété 1. Les coefficients de M sont positifs ou nuls et dans chaque colonne, la
somme des coefficients vaut 1.
En effet, les coefficients de la j -ième colonne sont les différentes probabilités de
transition depuis l’état j : leur somme est donc 1.
Cela veut dire que si
t U est le vecteur-ligne dont tous les coefficients sont égaux à 1,
on a (
t U )M =
t U , ou encore en transposant (
t M )U = U . Ainsi 1 est valeur propre
de
t M , donc de M , car des matrices transposées ont même polynôme caractéristique
(page 152). Énonçons cette propriété.
Propriété 2. La transformation X → MX a pour valeur propre 1.
Propriété 3. Les valeurs propres de M sont de valeur absolue inférieure ou égale à 1.
Soit λ une valeur propre de M . Puisque
t M et M ont mêmes valeurs propres, λ est
valeur propre de
t M , donc il existe un vecteur-colonne non nul V tel que (
t M )V =λV ,
ou encore, en transposant, (
t V )M = λ
t V . Notons v 1 , v 2 , . . . , v k les coordonnées de V
et soit v q une coordonnée de plus grande valeur absolue, donc |v j | |v q | quel que
soit j = 1, 2, . . . , k. Posons [ w 1 w 2 · · · w k ] = (
t V )M . On a pour tout j
|w j | = |v 1 p 1j + v 2 p 2j + · · · + v k p kj | |v 1 |p 1j + |v 2 |p 2j + · · · + |v k |p kj
|v q |p 1j + |v q |p 2j + · · · + |v q |p kj = |v q | .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 189