Sur la figure ci-dessous, nous avons représenté les axes de coordonnées α et β ,
dirigés par U 1 et U 2 , et nous avons supposé r < 1.
α
β
X
E k
AX
E rk
x
y
x
y
X 0
r < 1
Les itérés de X 0 sont sur une spirale qui tend vers l’origine si
r < 1, qui s’en écarte si r > 1. Noter que l’angle des vecteurs X,AX
n’est pas θ en général.
Nous avons déjà rencontré une trajectoire de cette forme page 17,
dans un exemple d’itération.
Exemple 2. Supposons que le polynôme caractéristique de A a deux racines réelles
λ, μ.
Il y a une base (U, V ) de vecteurs propres associés et tout point X ∈ R
2 a des
coordonnées α, β dans cette base : si X = αU + βV , alors AX a pour coordonnées
λ 0
0 μ
α
β
=
λα
μβ
dans la base (U,V ) et les itérés d’un point initial X 0 =α 0 U +β 0 V ont
pour coordonnées
α p
β p
=
λ 0
0 μ
p α
β
=
λ
p α 0
μ
p β 0
. Pour trouver une équation de la
courbe où se trouvent ces points, éliminons p entre les égalités
α p = λ
p α 0
β p = μ
p β 0
. Pour simplifier, supposons λ et μ strictement positifs et plaçons nous dans le cas général α 0 =0,
β 0 = 0, λ = 1 et μ = 1. On peut tirer p de la première égalité et porter dans la seconde :
λ
p =
α p
α 0
, p = (ln λ)
−1 ln
α p
α 0
, ln
β p
β 0
= p ln μ =
ln μ
ln λ
ln
α p
α 0
β p
β 0
=
α p
α 0
r
, où l’on a posé r =
ln μ
ln λ
.
t
r
t
r = 1
r >1
0 < r < 1
t
r
t
0
<
r
Pour des valeurs α 0 et β 0 positives, les itérés
se situent sur la courbe d’équation β = kα
r ,
où k = β 0 /α
r
0 ; l’exposant r ne dépend que des
valeurs propres. Les figures ci-contre montrent
l’allure de la fonction puissance t → t
r selon
les valeurs du nombre r.
Si l’on change le signe de α 0 , alors α p change de signe, de même pour β 0 et β p : cela
fournit des courbes symétriques par rapport aux axes. Les figures ci-après montrent
le comportement des itérés selon les valeurs propres de A : les droites correspondent
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 187
dirigés par U 1 et U 2 , et nous avons supposé r < 1.
α
β
X
E k
AX
E rk
x
y
x
y
X 0
r < 1
Les itérés de X 0 sont sur une spirale qui tend vers l’origine si
r < 1, qui s’en écarte si r > 1. Noter que l’angle des vecteurs X,AX
n’est pas θ en général.
Nous avons déjà rencontré une trajectoire de cette forme page 17,
dans un exemple d’itération.
Exemple 2. Supposons que le polynôme caractéristique de A a deux racines réelles
λ, μ.
Il y a une base (U, V ) de vecteurs propres associés et tout point X ∈ R
2 a des
coordonnées α, β dans cette base : si X = αU + βV , alors AX a pour coordonnées
λ 0
0 μ
α
β
=
λα
μβ
dans la base (U,V ) et les itérés d’un point initial X 0 =α 0 U +β 0 V ont
pour coordonnées
α p
β p
=
λ 0
0 μ
p α
β
=
λ
p α 0
μ
p β 0
. Pour trouver une équation de la
courbe où se trouvent ces points, éliminons p entre les égalités
α p = λ
p α 0
β p = μ
p β 0
. Pour simplifier, supposons λ et μ strictement positifs et plaçons nous dans le cas général α 0 =0,
β 0 = 0, λ = 1 et μ = 1. On peut tirer p de la première égalité et porter dans la seconde :
λ
p =
α p
α 0
, p = (ln λ)
−1 ln
α p
α 0
, ln
β p
β 0
= p ln μ =
ln μ
ln λ
ln
α p
α 0
β p
β 0
=
α p
α 0
r
, où l’on a posé r =
ln μ
ln λ
.
t
r
t
r = 1
r >1
0 < r < 1
t
r
t
0
<
r
Pour des valeurs α 0 et β 0 positives, les itérés
se situent sur la courbe d’équation β = kα
r ,
où k = β 0 /α
r
0 ; l’exposant r ne dépend que des
valeurs propres. Les figures ci-contre montrent
l’allure de la fonction puissance t → t
r selon
les valeurs du nombre r.
Si l’on change le signe de α 0 , alors α p change de signe, de même pour β 0 et β p : cela
fournit des courbes symétriques par rapport aux axes. Les figures ci-après montrent
le comportement des itérés selon les valeurs propres de A : les droites correspondent
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 187