Itération dans R 2
Soit A ∈ M 2 (R) et soit f : R
2
→ R
2 la transformation X → AX .
Exemple 1. Supposons que le polynôme caractéristique de A a deux racines
complexes distinctes. Ce polynôme étant à coefficients réels, les deux racines sont
conjuguées : notons-les λ = a + b i et λ = a − b i, où b = 0.
Soit U ∈ C
2 un vecteur propre pour la valeur propre λ. Puisque A est à coefficients
réels, on a AU = AU = λU = λ U , donc U est vecteur propre pour λ .
Posons U = U 1 + i U 2 , où U 1 et U 2 sont des vecteurs à coefficients réels.
Les vecteurs U 1 et U 2 forment une base de R
2 .
On a en effet U =U 1 −iU 2 , 2U 1 =U + U et 2iU 2 =U − U ; si x et y sont des nombres réels
tels que xU 1 +yU 2 =0, alors 0=2xU 1 +2yU 2 =x(U +U )−yi(U −U )=(x−yi)U +(x+yi)U .
Puisque λ = λ , les vecteurs propres U et U sont indépendants dans C
2 , donc x + y i = 0
et x = y = 0.
Pour étudier les itérés d’un vecteur par f , utilisons les coordonnées dans la base
(U 1 ,U 2 ). On a AU 1 + iAU 2 = AU = λU = (a + bi)(U 1 + iU 2 ) = aU 1 − bU 2 + i(bU 1 + aU 2 ),
d’où en séparant parties réelle et imaginaire AU 1 = aU 1 − bU 2 et AU 2 = bU 1 + aU 2 .
La matrice de f dans la base (U 1 , U 2 ) est donc B =
a b
−b a
.
Il faut maintenant calculer B
p . Posons r =
√
a 2 + b 2 ; puisque b = 0, on a r > 0 et
il existe un nombre θ ∈ [0, 2π[ tel que a = r cos θ et b = r sin θ. Il vient B = rM (θ),
avec M (θ) =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
, et par suite (exemple page 170)
B
p = r
p
cos pθ sin pθ
− sin pθ cos pθ
.
Notons (α, β) les coordonnées d’un vecteur quelconque dans la base (U 1 , U 2 ) : on a
ainsi
x
y
= P
α
β
, où la matrice de passage P a pour colonnes U 1 ,U 2 . Donnons-nous
un vecteur initial X 0 = α 0 U 1 + β 0 U 2 et notons X p = α p U 1 + β p U 2 les itérés de X 0
par la transformation X → AX . Pour tout entier p 1, on a
α p
β p
= B
p
α 0
β 0
.
Si l’on pose
α
β
= B
α
β
=
rα cos θ + rβ sin θ
−rα sin θ + rα cos θ
, alors on a
(∗)
α
2 + β
2 = r
2 (α
2 + β
2 )
Pour tout nombre réel k > 0, la courbe E k formée des points (x, y) ∈ R
2 dont les
coordonnées α, β vérifient α
2 + β
2 = k
2 est une ellipse centrée à l’origine. D’après
(∗), tout point X ∈ E k est transformé en un point AX ∈ E rk .
186 – APPLICATIONS
Soit A ∈ M 2 (R) et soit f : R
2
→ R
2 la transformation X → AX .
Exemple 1. Supposons que le polynôme caractéristique de A a deux racines
complexes distinctes. Ce polynôme étant à coefficients réels, les deux racines sont
conjuguées : notons-les λ = a + b i et λ = a − b i, où b = 0.
Soit U ∈ C
2 un vecteur propre pour la valeur propre λ. Puisque A est à coefficients
réels, on a AU = AU = λU = λ U , donc U est vecteur propre pour λ .
Posons U = U 1 + i U 2 , où U 1 et U 2 sont des vecteurs à coefficients réels.
Les vecteurs U 1 et U 2 forment une base de R
2 .
On a en effet U =U 1 −iU 2 , 2U 1 =U + U et 2iU 2 =U − U ; si x et y sont des nombres réels
tels que xU 1 +yU 2 =0, alors 0=2xU 1 +2yU 2 =x(U +U )−yi(U −U )=(x−yi)U +(x+yi)U .
Puisque λ = λ , les vecteurs propres U et U sont indépendants dans C
2 , donc x + y i = 0
et x = y = 0.
Pour étudier les itérés d’un vecteur par f , utilisons les coordonnées dans la base
(U 1 ,U 2 ). On a AU 1 + iAU 2 = AU = λU = (a + bi)(U 1 + iU 2 ) = aU 1 − bU 2 + i(bU 1 + aU 2 ),
d’où en séparant parties réelle et imaginaire AU 1 = aU 1 − bU 2 et AU 2 = bU 1 + aU 2 .
La matrice de f dans la base (U 1 , U 2 ) est donc B =
a b
−b a
.
Il faut maintenant calculer B
p . Posons r =
√
a 2 + b 2 ; puisque b = 0, on a r > 0 et
il existe un nombre θ ∈ [0, 2π[ tel que a = r cos θ et b = r sin θ. Il vient B = rM (θ),
avec M (θ) =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
, et par suite (exemple page 170)
B
p = r
p
cos pθ sin pθ
− sin pθ cos pθ
.
Notons (α, β) les coordonnées d’un vecteur quelconque dans la base (U 1 , U 2 ) : on a
ainsi
x
y
= P
α
β
, où la matrice de passage P a pour colonnes U 1 ,U 2 . Donnons-nous
un vecteur initial X 0 = α 0 U 1 + β 0 U 2 et notons X p = α p U 1 + β p U 2 les itérés de X 0
par la transformation X → AX . Pour tout entier p 1, on a
α p
β p
= B
p
α 0
β 0
.
Si l’on pose
α
β
= B
α
β
=
rα cos θ + rβ sin θ
−rα sin θ + rα cos θ
, alors on a
(∗)
α
2 + β
2 = r
2 (α
2 + β
2 )
Pour tout nombre réel k > 0, la courbe E k formée des points (x, y) ∈ R
2 dont les
coordonnées α, β vérifient α
2 + β
2 = k
2 est une ellipse centrée à l’origine. D’après
(∗), tout point X ∈ E k est transformé en un point AX ∈ E rk .
186 – APPLICATIONS