Dans le cas particulier où X 0 est un vecteur propre pour la valeur propre λ, on a
simplement X 1 = λX 0 , X 2 = λAX 0 = λ
2 X 0 , . . . , X p = λ
p X 0 . Si |λ| < 1, alors λ
p tend
vers 0 quand p tend vers l’infini et les X p tendent vers le vecteur nul.
Voici un résultat général.
Proposition. Soit A ∈ M n (K). Si toutes les racines du polynôme caractéristique de A
sont de module strictement inférieur à 1, alors A
p tend vers 0 quand p tend vers l’infini.
Démonstration. Supposons d’abord que A = λI + N , où N est triangulaire avec coefficients
diagonaux tous nuls. Le nombre λ est donc valeur propre de A. Puisque N
n = 0, la formule
(∗) page 183 s’écrit pour tout p n :
A
p = λ
p I n +
p
1
λ
p−1 N + · · · +
p
k
λ
p−k N
k + · · · +
p
n − 1
λ
p−n+1 N
n−1 .
Si λ = 0, alors A
p = 0 pour p n, donc A
p tend vers 0. Supposons λ = 0. On a
p
k
=
1
k!
p(p − 1)· · ·(p − k + 1) p
k , donc
p
k
λ
p−k
|λ|
−k p
k
|λ|
p . Quand p tend vers l’infini, on sait
que, pour k fixé, p
k
|λ|
p tend vers 0, car on a supposé |λ| < 1 : les coefficients de la matrice
p
k
λ
p−k N
k ont donc pour limite 0 quand p tend vers l’infini. Pour tout p n, A
p est une
somme de n matrices qui tendent vers 0, donc A
p tend vers 0 quand p tend vers l’infini.
Supposons maintenant que A est constituée de blocs diagonaux λ i + N i de la forme qu’on
vient de traiter. Les λ i sont des valeurs propres et A
p s’obtient en élevant chaque bloc à la
puissance p. Puisque dans A
p , chaque bloc diagonal tend vers 0 quand p tend vers l’infini,
il en va de même de A
p .
Dans le cas général, trigonalisons A sur C : on obtient une matrice P ∈ M n (C) et une matrice T triangulaire par blocs telles que A
p = P T
p P
−1 quel que soit l’entier p 1. On vient
de montrer que T
p tend vers 0 quand p tend vers l’infini. Chaque coefficient du produit
P T
p P
−1 est une combinaison linéaire, à coefficients indépendants de p, des coefficients de
T
p : les coefficients de A
p tendent donc vers 0 quand p tend vers l’infini.
Corollaire. Soient A ∈ M n (K) et B un vecteur-colonne de K
n .
® Si 1 n’est pas racine du polynôme caractéristique de A, la transformation X → AX + B
a un unique point fixe W = (I n − A)
−1 B.
® Supposons que le polynôme caractéristique de A a toutes ses racines de module strictement
inférieur à 1. Alors toute suite (X p ) telle que X p+1 = AX p + B a pour limite le point
fixe W tel que W = AW + B.
Démonstration. Un vecteur X ∈K
n est point fixe si et seulement si AX +B =X , ce qui s’écrit
(I n − A)X = B . Si 1 n’est pas racine du polynôme caractéristique de A, la matrice I n − A est
inversible, donc l’équation a pour seule solution X = (I n −A)
−1 B . Supposons que le polynôme
caractéristique de A a toutes ses racines de module strictement inférieur à 1. En particulier, 1
n’est pas racine, donc il existe un unique point fixe W , tel que AW + B = W . Soit (X p ) une
suite telle que X p+1 = AX p + B . On a X p+1 − W = (AX p + B) − (AW + B) = A(X p − W ),
donc X p − W = A
p (X 0 − W ) pour tout entier p 1. Quand p tend vers l’infini, A
p tend vers
0 d’après la proposition précédente, donc X p tend vers W .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 185
simplement X 1 = λX 0 , X 2 = λAX 0 = λ
2 X 0 , . . . , X p = λ
p X 0 . Si |λ| < 1, alors λ
p tend
vers 0 quand p tend vers l’infini et les X p tendent vers le vecteur nul.
Voici un résultat général.
Proposition. Soit A ∈ M n (K). Si toutes les racines du polynôme caractéristique de A
sont de module strictement inférieur à 1, alors A
p tend vers 0 quand p tend vers l’infini.
Démonstration. Supposons d’abord que A = λI + N , où N est triangulaire avec coefficients
diagonaux tous nuls. Le nombre λ est donc valeur propre de A. Puisque N
n = 0, la formule
(∗) page 183 s’écrit pour tout p n :
A
p = λ
p I n +
p
1
λ
p−1 N + · · · +
p
k
λ
p−k N
k + · · · +
p
n − 1
λ
p−n+1 N
n−1 .
Si λ = 0, alors A
p = 0 pour p n, donc A
p tend vers 0. Supposons λ = 0. On a
p
k
=
1
k!
p(p − 1)· · ·(p − k + 1) p
k , donc
p
k
λ
p−k
|λ|
−k p
k
|λ|
p . Quand p tend vers l’infini, on sait
que, pour k fixé, p
k
|λ|
p tend vers 0, car on a supposé |λ| < 1 : les coefficients de la matrice
p
k
λ
p−k N
k ont donc pour limite 0 quand p tend vers l’infini. Pour tout p n, A
p est une
somme de n matrices qui tendent vers 0, donc A
p tend vers 0 quand p tend vers l’infini.
Supposons maintenant que A est constituée de blocs diagonaux λ i + N i de la forme qu’on
vient de traiter. Les λ i sont des valeurs propres et A
p s’obtient en élevant chaque bloc à la
puissance p. Puisque dans A
p , chaque bloc diagonal tend vers 0 quand p tend vers l’infini,
il en va de même de A
p .
Dans le cas général, trigonalisons A sur C : on obtient une matrice P ∈ M n (C) et une matrice T triangulaire par blocs telles que A
p = P T
p P
−1 quel que soit l’entier p 1. On vient
de montrer que T
p tend vers 0 quand p tend vers l’infini. Chaque coefficient du produit
P T
p P
−1 est une combinaison linéaire, à coefficients indépendants de p, des coefficients de
T
p : les coefficients de A
p tendent donc vers 0 quand p tend vers l’infini.
Corollaire. Soient A ∈ M n (K) et B un vecteur-colonne de K
n .
® Si 1 n’est pas racine du polynôme caractéristique de A, la transformation X → AX + B
a un unique point fixe W = (I n − A)
−1 B.
® Supposons que le polynôme caractéristique de A a toutes ses racines de module strictement
inférieur à 1. Alors toute suite (X p ) telle que X p+1 = AX p + B a pour limite le point
fixe W tel que W = AW + B.
Démonstration. Un vecteur X ∈K
n est point fixe si et seulement si AX +B =X , ce qui s’écrit
(I n − A)X = B . Si 1 n’est pas racine du polynôme caractéristique de A, la matrice I n − A est
inversible, donc l’équation a pour seule solution X = (I n −A)
−1 B . Supposons que le polynôme
caractéristique de A a toutes ses racines de module strictement inférieur à 1. En particulier, 1
n’est pas racine, donc il existe un unique point fixe W , tel que AW + B = W . Soit (X p ) une
suite telle que X p+1 = AX p + B . On a X p+1 − W = (AX p + B) − (AW + B) = A(X p − W ),
donc X p − W = A
p (X 0 − W ) pour tout entier p 1. Quand p tend vers l’infini, A
p tend vers
0 d’après la proposition précédente, donc X p tend vers W .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 185