Faisons ce calcul pour a = 6 et b = −9.
Trigonalisation de A . Le polynôme caractéristique de A est
−z 1
−9 6−z
=z
2
−6z+9=
(z − 3)
2 . La seule valeur propre est 3, racine double du polynôme caractéristique.
Puisque A n’est pas la matrice 3I 2 , on en déduit que A n’est pas diagonalisable
(exemple page 179). Pour trouver un vecteur propre, on résout le système linéaire :
(A − 3I 2 )X = 0 ⇐⇒
−3x + y = 0
−9x + 3y = 0
⇐⇒ y = 3x
donc U 1 =
1
3
est vecteur propre. Complétons ce vecteur en une base de R
2 en
posant U 2 =
0
1
. On a (A − 3I 2 )U 2 =
1
3
= U 1 , donc AU 2 = U 1 + 3U 2 . Puisque
AU 1 = 3U 1 , la matrice de X → AX dans la base (U 1 , U 2 ) est T =
3 1
0 3
. La matrice de passage de la base canonique à la base (U 1 , U 2 ) a pour colonnes U 1 , U 2 ,
c’est donc la matrice P =
1 0
3 1
, d’inverse P
−1 =
1 0
−3 1
. D’après la formule du
changement de base, on a l’égalité matricielle T = P
−1 AP , ou encore A = P T P
−1 .
Calcul des puissances de A . On a T = 3I 2 + N , où la matrice N =
0 1
0 0
vérifie
N
2 = 0. Pour tout entier p 1, il vient donc
T
p = (3I 2 + N )
p = 3
p I 2 + p3
p−1 N =
3
p p3
p−1
0 3
p
Puisque A
p = P T
p P
−1 , on obtient finalement
A
p =
1 0
3 1
3
p p3
p−1
0
3
p
1 0
−3 1
=
(1 − p)3
p
p3
p−1
−p3
p+1 (1 + p)3
p
.
Étude de la suite (u p ) . Revenons à la suite (u p ) : puisque
u p
v p
= A
p
u 0
u 1
, il vient
u p = (1 − p)3
p u 0 + p3
p−1 u 1 pour tout entier p 1.
® Le quotient
u p
p3
p−1
= u 1 + 3
1 − p
p
u 0 a pour limite u 1 − 3u 0 : on en déduit que si
u 1 = 3u 0 , alors u p est équivalent à (u 1 − 3u 0 )p3
p−1 quand p tend vers l’infini.
® Si u 1 = 3u 0 , le vecteur initial X 0 =
u 0
u 1
est colinéaire au vecteur propre U 1 , donc
A
p X 0 =3
p X 0 et u p =3
p u 0 (ce qui se vérifie aussi sur l’expression générale de u p ).
Nous présenterons dans le paragraphe suivant d’autres exemples de calculs d’une
puissance de matrice.
5.2 Étude d'itérations linéaires
Soit A une matrice carrée de taille n. Étant donné un vecteur X 0 ∈ K
n , les itérés
de X 0 par la transformation X → AX sont les vecteurs X 1 = AX 0 , X 2 = AX 1 =
A
2 X 0 , . . . , X p = AX p−1 = A
p X 0 , . . .
184 – APPLICATIONS
Trigonalisation de A . Le polynôme caractéristique de A est
−z 1
−9 6−z
=z
2
−6z+9=
(z − 3)
2 . La seule valeur propre est 3, racine double du polynôme caractéristique.
Puisque A n’est pas la matrice 3I 2 , on en déduit que A n’est pas diagonalisable
(exemple page 179). Pour trouver un vecteur propre, on résout le système linéaire :
(A − 3I 2 )X = 0 ⇐⇒
−3x + y = 0
−9x + 3y = 0
⇐⇒ y = 3x
donc U 1 =
1
3
est vecteur propre. Complétons ce vecteur en une base de R
2 en
posant U 2 =
0
1
. On a (A − 3I 2 )U 2 =
1
3
= U 1 , donc AU 2 = U 1 + 3U 2 . Puisque
AU 1 = 3U 1 , la matrice de X → AX dans la base (U 1 , U 2 ) est T =
3 1
0 3
. La matrice de passage de la base canonique à la base (U 1 , U 2 ) a pour colonnes U 1 , U 2 ,
c’est donc la matrice P =
1 0
3 1
, d’inverse P
−1 =
1 0
−3 1
. D’après la formule du
changement de base, on a l’égalité matricielle T = P
−1 AP , ou encore A = P T P
−1 .
Calcul des puissances de A . On a T = 3I 2 + N , où la matrice N =
0 1
0 0
vérifie
N
2 = 0. Pour tout entier p 1, il vient donc
T
p = (3I 2 + N )
p = 3
p I 2 + p3
p−1 N =
3
p p3
p−1
0 3
p
Puisque A
p = P T
p P
−1 , on obtient finalement
A
p =
1 0
3 1
3
p p3
p−1
0
3
p
1 0
−3 1
=
(1 − p)3
p
p3
p−1
−p3
p+1 (1 + p)3
p
.
Étude de la suite (u p ) . Revenons à la suite (u p ) : puisque
u p
v p
= A
p
u 0
u 1
, il vient
u p = (1 − p)3
p u 0 + p3
p−1 u 1 pour tout entier p 1.
® Le quotient
u p
p3
p−1
= u 1 + 3
1 − p
p
u 0 a pour limite u 1 − 3u 0 : on en déduit que si
u 1 = 3u 0 , alors u p est équivalent à (u 1 − 3u 0 )p3
p−1 quand p tend vers l’infini.
® Si u 1 = 3u 0 , le vecteur initial X 0 =
u 0
u 1
est colinéaire au vecteur propre U 1 , donc
A
p X 0 =3
p X 0 et u p =3
p u 0 (ce qui se vérifie aussi sur l’expression générale de u p ).
Nous présenterons dans le paragraphe suivant d’autres exemples de calculs d’une
puissance de matrice.
5.2 Étude d'itérations linéaires
Soit A une matrice carrée de taille n. Étant donné un vecteur X 0 ∈ K
n , les itérés
de X 0 par la transformation X → AX sont les vecteurs X 1 = AX 0 , X 2 = AX 1 =
A
2 X 0 , . . . , X p = AX p−1 = A
p X 0 , . . .
184 – APPLICATIONS