La matrice est triangulaire à coefficients diagonaux tous égaux
Il s’agit par exemple d’une matrice T =
. On a T = λI n + N , où N est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous nuls. D’après ce qu’on vient de voir,
on a N
p = 0 si p n. Pour calculer T
p , utilisons la formule du binôme de Newton, ce
qui est licite car la matrice λI n commute avec n’importe quelle matrice de M n (K) :
(∗)
T
p = (λI n + N )
p = λ
p I n +
p
1
λ
p−1 N + · · · +
p
k
λ
p−k N
k + · · · + N
p
Dans cette égalité, les seuls termes éventuellement non nuls sont relatifs aux puissances
de N inférieures à n : quel que soit p, il y a donc au plus n termes non nuls.
La matrice est triangulaire par blocs
La forme est T = diag(T 1 , T 2 , . . . , T k ), où les matrices T i sont triangulaires et occupent des blocs de lignes et de colonnes disjoints les uns des autres, comme dans la
proposition page 182. D’après la règle du produit matriciel, on a alors
T
p = diag(T
p
1 , T
p
2 , . . . , T
p
k ) pour tout entier p 1.
Méthode de calcul des puissances
On veut calculer les puissances d’une matrice A. Supposons qu’on dispose d’une matrice inversible P et qu’on sache calculer les puissances de la matrice B = P
−1 AP . En
multipliant cette égalité à gauche par P et à droite par P
−1 , il vient A = P BP
−1 . Par
suite, A
2 = P BP
−1 P BP
−1 = P B
2 P
−1 et plus généralement A
p = P B
p P
−1 pour tout
entier p1. Connaissant B
p , on en déduit A
p en calculant un produit de trois matrices.
Pour calculer les puissances de A, on peut chercher une base B de K
n dans laquelle la
matrice de la transformation X → AX est diagonale ou à défaut triangulaire par blocs.
En prenant pour P la matrice de passage de la base canonique à la base B , la matrice de X → AX dans la base B est B = P
−1 AP , d’après la formule de changement
de base. On aura donc A
p = P B
p P
−1 pour tout entier p 1.
Exemple : suite vérifiant une relation de récurrence linéaire. Soient a et
b des nombres de K et soit (u p ) une suite telle que u p+2 = au p+1 + bu p pour tout
entier p 0.
Posons v p = u p+1 . On a v p+1 = u p+2 = av p + bu p , donc
u p+1
v p+1
=
v p
bu p + av p
=
0 1
b a
u p
v p
ou encore
X p+1 = AX p , avec X p =
u p
v p
et A =
0 1
b a
.
On en déduit X p = A
p X 0 . Pour calculer les nombres u p , il suffit donc d’expliciter
la matrice A
p et de se donner les valeurs initiales u 0 et u 1 = v 0 .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 183
Il s’agit par exemple d’une matrice T =
. On a T = λI n + N , où N est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous nuls. D’après ce qu’on vient de voir,
on a N
p = 0 si p n. Pour calculer T
p , utilisons la formule du binôme de Newton, ce
qui est licite car la matrice λI n commute avec n’importe quelle matrice de M n (K) :
(∗)
T
p = (λI n + N )
p = λ
p I n +
p
1
λ
p−1 N + · · · +
p
k
λ
p−k N
k + · · · + N
p
Dans cette égalité, les seuls termes éventuellement non nuls sont relatifs aux puissances
de N inférieures à n : quel que soit p, il y a donc au plus n termes non nuls.
La matrice est triangulaire par blocs
La forme est T = diag(T 1 , T 2 , . . . , T k ), où les matrices T i sont triangulaires et occupent des blocs de lignes et de colonnes disjoints les uns des autres, comme dans la
proposition page 182. D’après la règle du produit matriciel, on a alors
T
p = diag(T
p
1 , T
p
2 , . . . , T
p
k ) pour tout entier p 1.
Méthode de calcul des puissances
On veut calculer les puissances d’une matrice A. Supposons qu’on dispose d’une matrice inversible P et qu’on sache calculer les puissances de la matrice B = P
−1 AP . En
multipliant cette égalité à gauche par P et à droite par P
−1 , il vient A = P BP
−1 . Par
suite, A
2 = P BP
−1 P BP
−1 = P B
2 P
−1 et plus généralement A
p = P B
p P
−1 pour tout
entier p1. Connaissant B
p , on en déduit A
p en calculant un produit de trois matrices.
Pour calculer les puissances de A, on peut chercher une base B de K
n dans laquelle la
matrice de la transformation X → AX est diagonale ou à défaut triangulaire par blocs.
En prenant pour P la matrice de passage de la base canonique à la base B , la matrice de X → AX dans la base B est B = P
−1 AP , d’après la formule de changement
de base. On aura donc A
p = P B
p P
−1 pour tout entier p 1.
Exemple : suite vérifiant une relation de récurrence linéaire. Soient a et
b des nombres de K et soit (u p ) une suite telle que u p+2 = au p+1 + bu p pour tout
entier p 0.
Posons v p = u p+1 . On a v p+1 = u p+2 = av p + bu p , donc
u p+1
v p+1
=
v p
bu p + av p
=
0 1
b a
u p
v p
ou encore
X p+1 = AX p , avec X p =
u p
v p
et A =
0 1
b a
.
On en déduit X p = A
p X 0 . Pour calculer les nombres u p , il suffit donc d’expliciter
la matrice A
p et de se donner les valeurs initiales u 0 et u 1 = v 0 .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 183