Proposition. Si le polynôme caractéristique de f a toutes ses racines λ 1 ,. . .,λ k dans K,
il existe une base de V dans laquelle la matrice de f a une forme « triangulaire par blocs »
diag(T 1 , T 2 , . . . , T k ) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
T 1
T 2 0
0
. . .
T k
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
où T i = T (λ i ) est une matrice carrée triangulaire supérieure de taille m(λ i ) dont les
coefficients diagonaux sont tous égaux à λ i .
La matrice ci-dessus est triangulaire. En conséquence, la proposition affirme que si
les racines du polynôme caractéristique de f sont toutes dans K, il y a une base dans
laquelle la matrice de f est triangulaire, les coefficients diagonaux étant constitués
des valeurs propres répétées autant de fois que leur multiplicité.
Remarque
On peut toujours trigonaliser une matrice à coefficients réels avec des valeurs propres
et des vecteurs propres complexes.
5. Applications
5.1 Calcul des puissances d'une matrice
Pour étudier les itérés d’une transformation linéaire, on a souvent besoin de calculer
explicitement la puissance p-ième d’une matrice carrée. Voici les principaux exemples
où l’on peut effectuer ce calcul de façon assez simple.
La matrice est diagonale
Si D = diag(t 1 , t 2 , . . . , t n ), alors D
p = diag(t
p
1 , t
p
2 , . . . , t
p
n ) pour tout entier p 1.
La matrice est triangulaire et les coefficients diagonaux sont tous nuls
Si la matrice est triangulaire supérieure de taille n, elle est de la forme T =
.
On a T E 1 = 0 et pour tout i = 2, . . . , n, la i-ème colonne T E i est combinaison
linéaire de E 1 , E 2 , . . . , E i−1 . Ainsi, T E 2 est colinéaire à E 1 et plus généralement
T
i−1 E i est colinéaire à E 1 , donc T
i E i = 0. A fortiori, on a T
n E i = 0 et comme cela
est vrai quel que soit i, il vient T
n = 0. Par conséquent, on a T
p = 0 si p n, et
les seules puissances à calculer sont T
2 , . . . , T
n−1 .
Une matrice carrée non nulle dont une puissance est nulle s’appelle une matrice nilpotente. Une matrice triangulaire n’ayant que des zéros sur la diagonale est nilpotente.
182 – APPLICATIONS
il existe une base de V dans laquelle la matrice de f a une forme « triangulaire par blocs »
diag(T 1 , T 2 , . . . , T k ) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
T 1
T 2 0
0
. . .
T k
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
où T i = T (λ i ) est une matrice carrée triangulaire supérieure de taille m(λ i ) dont les
coefficients diagonaux sont tous égaux à λ i .
La matrice ci-dessus est triangulaire. En conséquence, la proposition affirme que si
les racines du polynôme caractéristique de f sont toutes dans K, il y a une base dans
laquelle la matrice de f est triangulaire, les coefficients diagonaux étant constitués
des valeurs propres répétées autant de fois que leur multiplicité.
Remarque
On peut toujours trigonaliser une matrice à coefficients réels avec des valeurs propres
et des vecteurs propres complexes.
5. Applications
5.1 Calcul des puissances d'une matrice
Pour étudier les itérés d’une transformation linéaire, on a souvent besoin de calculer
explicitement la puissance p-ième d’une matrice carrée. Voici les principaux exemples
où l’on peut effectuer ce calcul de façon assez simple.
La matrice est diagonale
Si D = diag(t 1 , t 2 , . . . , t n ), alors D
p = diag(t
p
1 , t
p
2 , . . . , t
p
n ) pour tout entier p 1.
La matrice est triangulaire et les coefficients diagonaux sont tous nuls
Si la matrice est triangulaire supérieure de taille n, elle est de la forme T =
.
On a T E 1 = 0 et pour tout i = 2, . . . , n, la i-ème colonne T E i est combinaison
linéaire de E 1 , E 2 , . . . , E i−1 . Ainsi, T E 2 est colinéaire à E 1 et plus généralement
T
i−1 E i est colinéaire à E 1 , donc T
i E i = 0. A fortiori, on a T
n E i = 0 et comme cela
est vrai quel que soit i, il vient T
n = 0. Par conséquent, on a T
p = 0 si p n, et
les seules puissances à calculer sont T
2 , . . . , T
n−1 .
Une matrice carrée non nulle dont une puissance est nulle s’appelle une matrice nilpotente. Une matrice triangulaire n’ayant que des zéros sur la diagonale est nilpotente.
182 – APPLICATIONS