Il s’ensuit que la matrice T de f dans la base (u 1 , u 2 , . . . , u n ) est triangulaire
supérieure, de la forme
T =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 · · · 0
. . .
. . .
. . . ∗
0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
0 · · · 0 · · · 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Les d premières colonnes sont nulles et les coefficients diagonaux sont tous égaux à
0. Puisqu’on a Ker(f
n ) = N n = V , la transformation f
n est nulle, donc T
n = 0.
Cas où f a une seule valeur propre λ
Posons g = f − λid V . Si f a pour matrice M dans une base de V , alors pour tout scalaire t ∈ K, la transformation g − t id V = f − (λ + t)id V a pour matrice M − (λ + t)I n .
Puisque λ est la seule valeur propre de f , cette matrice est inversible sauf pour
t = 0 : la seule valeur propre de g est donc 0. D’après l’étude précédente, il existe
une base de V dans laquelle g a pour matrice T . Comme on a f = g + λ id V , la
matrice de f dans cette base est T + λI n , de la forme
T (λ) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
λI d
∗
0
λ ∗
. . .
λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Cette matrice est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous égaux à λ.
Cas général
Supposons que le polynôme caractéristique de f a toutes ses racines dans K et
décomposons-le en produit de facteurs
C f = (λ 1 − z)
m(λ 1 ) (λ 2 − z)
m(λ 2 )
· · · (λ k − z)
m(λ k )
où les λ i sont les différentes valeurs propres.
On démontre que si B i est une base de Ker
(f − λ i id V )
m(λ i )
, alors la réunion des
B i est une base de V . La matrice de f dans cette base est constituée de k matrices
carrées de taille m(λ 1 ), . . . , m(λ k ) placées en diagonale. En choisissant pour B i une
base adaptée aux noyaux
Ker(f − λ i id V ) ⊂ Ker
(f − λ i id V )
2
⊂ · · · ⊂ Ker
(f − λ i id V )
m(λ i )
,
ces matrices seront de la forme T (λ i ). Énonçons ce résultat que nous admettons.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 181
supérieure, de la forme
T =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 · · · 0
. . .
. . .
. . . ∗
0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
0 · · · 0 · · · 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Les d premières colonnes sont nulles et les coefficients diagonaux sont tous égaux à
0. Puisqu’on a Ker(f
n ) = N n = V , la transformation f
n est nulle, donc T
n = 0.
Cas où f a une seule valeur propre λ
Posons g = f − λid V . Si f a pour matrice M dans une base de V , alors pour tout scalaire t ∈ K, la transformation g − t id V = f − (λ + t)id V a pour matrice M − (λ + t)I n .
Puisque λ est la seule valeur propre de f , cette matrice est inversible sauf pour
t = 0 : la seule valeur propre de g est donc 0. D’après l’étude précédente, il existe
une base de V dans laquelle g a pour matrice T . Comme on a f = g + λ id V , la
matrice de f dans cette base est T + λI n , de la forme
T (λ) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
λI d
∗
0
λ ∗
. . .
λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Cette matrice est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous égaux à λ.
Cas général
Supposons que le polynôme caractéristique de f a toutes ses racines dans K et
décomposons-le en produit de facteurs
C f = (λ 1 − z)
m(λ 1 ) (λ 2 − z)
m(λ 2 )
· · · (λ k − z)
m(λ k )
où les λ i sont les différentes valeurs propres.
On démontre que si B i est une base de Ker
(f − λ i id V )
m(λ i )
, alors la réunion des
B i est une base de V . La matrice de f dans cette base est constituée de k matrices
carrées de taille m(λ 1 ), . . . , m(λ k ) placées en diagonale. En choisissant pour B i une
base adaptée aux noyaux
Ker(f − λ i id V ) ⊂ Ker
(f − λ i id V )
2
⊂ · · · ⊂ Ker
(f − λ i id V )
m(λ i )
,
ces matrices seront de la forme T (λ i ). Énonçons ce résultat que nous admettons.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 181