Cas où f a pour seule valeur propre 0
Posons N 0 = {0}, N 1 = Ker f , N 2 = Ker(f ◦ f ) et en général
N k = Ker(f
k ) pour tout entier k 1,
où f
2 est la transformation f ◦ f et f
k = f ◦ f ◦ · · · ◦ f
k fois
.
Les N k sont des noyaux de transformations linéaires de V , donc des sous-espaces
vectoriels de V . Voici des propriétés de ces sous-espaces.
i) On a Ker f = V (0) = N 1 ⊂ N 2 ⊂ · · · ⊂ N k ⊂ N k+1 ⊂ · · · ⊂ N n = V .
ii) Si k 1, alors pour tout vecteur u ∈ N k , on a f (u) ∈ N k−1 .
Démonstration. Par définition, N 1 = Ker f = Ker(f − 0 id V ) est le sous-espace propre V (0)
pour la valeur propre 0. On a supposé que 0 est la seule valeur propre de f , donc le polynôme
caractéristique de f est C f = (−1)
n z
n . D’après le théorème de Cayley-Hamilton (page 152),
on en déduit que pour tout vecteur u ∈ V , on a 0 = C f (f )(u) = (−1)
n f
n (u), donc f
n (u) = 0.
Ainsi tout vecteur de V appartient à N n , autrement dit N n = V .
Montrons que les sous-espaces N k sont emboîtés. Soient k 0 et u ∈ N k . On a f
k+1 = f ◦ f
k
et f
k+1 (u) = f
f
k (u)
= f (0) = 0, car f
k (u) = 0. Tout vecteur u de N k appartient donc au
noyau de f
k+1 qui est N k+1 . Cela démontre l’inclusion N k ⊂ N k+1 .
Montrons la dernière propriété. Soit k1 et u∈N k . On a f
k−1
◦f =f
k , donc f
k−1
f (u)
=f
k (u) ;
puisque f
k (u) = 0, il vient f
k−1
f (u)
= 0, autrement dit le vecteur f (u) appartient à N k−1 .
Construction d'une base adaptée aux N k
Construisons une base de V dont les premiers vecteurs sont dans Ker f = N 1 , les
suivants dans N 2 , etc, les derniers dans N n = V . Nous dirons qu’une telle base de
V est adaptée aux sous-espaces emboîtés N k .
Pour cela, on choisit une base de V (0) = Ker f ; si l’on a dim(Ker f ) < dim N 2 , on
complète en une base de N 2 , grâce au théorème de la base incomplète ; ensuite,
si dim N 2 < dim N 3 , on complète en une base de N 3 , et l’on continue ainsi jusqu’à
obtenir une base de N n = V .
Soit (u 1 , u 2 , . . . , u n ) une base de V adaptée aux noyaux N k . Si le sous-espace propre
V (0) est de dimension d, alors u 1 , . . . , u d forment une base de V (0) et f (u i ) = 0
pour 1 i d.
Soit u p un vecteur de la base tel que p > d. Il y a un plus petit indice k tel que
u p ∈ N k . Par construction d’une base adaptée, les vecteurs de N k−1 sont combinaison linéaire de vecteurs u i tels que i < p. Or nous savons (propriété (ii)) que f (u p )
appartient à N k−1 , donc f (u p ) est combinaison linéaire de u 1 , . . . , u p−1 .
180 – TRIGONALISATION
Posons N 0 = {0}, N 1 = Ker f , N 2 = Ker(f ◦ f ) et en général
N k = Ker(f
k ) pour tout entier k 1,
où f
2 est la transformation f ◦ f et f
k = f ◦ f ◦ · · · ◦ f
k fois
.
Les N k sont des noyaux de transformations linéaires de V , donc des sous-espaces
vectoriels de V . Voici des propriétés de ces sous-espaces.
i) On a Ker f = V (0) = N 1 ⊂ N 2 ⊂ · · · ⊂ N k ⊂ N k+1 ⊂ · · · ⊂ N n = V .
ii) Si k 1, alors pour tout vecteur u ∈ N k , on a f (u) ∈ N k−1 .
Démonstration. Par définition, N 1 = Ker f = Ker(f − 0 id V ) est le sous-espace propre V (0)
pour la valeur propre 0. On a supposé que 0 est la seule valeur propre de f , donc le polynôme
caractéristique de f est C f = (−1)
n z
n . D’après le théorème de Cayley-Hamilton (page 152),
on en déduit que pour tout vecteur u ∈ V , on a 0 = C f (f )(u) = (−1)
n f
n (u), donc f
n (u) = 0.
Ainsi tout vecteur de V appartient à N n , autrement dit N n = V .
Montrons que les sous-espaces N k sont emboîtés. Soient k 0 et u ∈ N k . On a f
k+1 = f ◦ f
k
et f
k+1 (u) = f
f
k (u)
= f (0) = 0, car f
k (u) = 0. Tout vecteur u de N k appartient donc au
noyau de f
k+1 qui est N k+1 . Cela démontre l’inclusion N k ⊂ N k+1 .
Montrons la dernière propriété. Soit k1 et u∈N k . On a f
k−1
◦f =f
k , donc f
k−1
f (u)
=f
k (u) ;
puisque f
k (u) = 0, il vient f
k−1
f (u)
= 0, autrement dit le vecteur f (u) appartient à N k−1 .
Construction d'une base adaptée aux N k
Construisons une base de V dont les premiers vecteurs sont dans Ker f = N 1 , les
suivants dans N 2 , etc, les derniers dans N n = V . Nous dirons qu’une telle base de
V est adaptée aux sous-espaces emboîtés N k .
Pour cela, on choisit une base de V (0) = Ker f ; si l’on a dim(Ker f ) < dim N 2 , on
complète en une base de N 2 , grâce au théorème de la base incomplète ; ensuite,
si dim N 2 < dim N 3 , on complète en une base de N 3 , et l’on continue ainsi jusqu’à
obtenir une base de N n = V .
Soit (u 1 , u 2 , . . . , u n ) une base de V adaptée aux noyaux N k . Si le sous-espace propre
V (0) est de dimension d, alors u 1 , . . . , u d forment une base de V (0) et f (u i ) = 0
pour 1 i d.
Soit u p un vecteur de la base tel que p > d. Il y a un plus petit indice k tel que
u p ∈ N k . Par construction d’une base adaptée, les vecteurs de N k−1 sont combinaison linéaire de vecteurs u i tels que i < p. Or nous savons (propriété (ii)) que f (u p )
appartient à N k−1 , donc f (u p ) est combinaison linéaire de u 1 , . . . , u p−1 .
180 – TRIGONALISATION