Deuxième cas : a = 1/2 . Le discriminant Δ est nul et le polynôme
C M = z
2
− 3z + (3/2)
2 = (z − 3/2)
2
a une racine double 3/2. Il n’y a qu’une valeur propre λ = 3/2, de multiplicité 2.
Les vecteurs propres sont les solutions non nulles de l’équation
(M −(3/2)I 2 )X =0 ⇔
−1/2 1/2
−1/2 1/2
x
y
=
0
0
⇔ −x+y =0 ⇔
x
y
=t
1
1
, où t∈R.
L’ensemble des solutions, c’est-à-dire le sous-espace propre V (3/2), est de dimension 1, engendré par le vecteur propre
1
1
. D’après le critère de diagonalisation,
f n’est pas diagonalisable.
Troisième cas : a = −1/2 . La matrice est la transposée de la précédente, donc le
polynôme caractéristique est le même. Le sous-espace propre V (3/2) est encore
de dimension 1, engendré par le vecteur propre
1
−1
. Comme ci-dessus, on en
déduit que f n’est pas diagonalisable.
4. Trigonalisation
Comme on vient de le voir, une transformation linéaire n’est pas toujours diagonalisable, même si les racines du polynôme caractéristique appartiennent toutes à K.
Dans ce paragraphe, V est un K-espace vectoriel de dimension n.
Un exemple. Soit f une transformation de V . Supposons que, dans une certaine
base, la matrice M de f est triangulaire à coefficients diagonaux tous égaux :
M =
⎡
⎢
⎣
a
0 a
∗
. . .
. . .
0 · · · a
⎤
⎥
⎦ , où a ∈ K.
Le polynôme caractéristique de f est (a − z)
n , la seule racine est a, de multiplicité
n, donc a est la seule valeur propre de f .
D’après le critère, f est diagonalisable si et seulement si dim V (a) = n, c’est-à-dire si
et seulement si V (a) = V . Cette condition signifie que pour tout vecteur u ∈ V , on a
f (u)=au, autrement dit f =aid V (ou encore, si a =0, f est l’homothétie de rapport a).
Nous avons ainsi montré que f n’est diagonalisable que si c’est la transformation
u → au, c’est-à-dire si M est la matrice diagonale aI n .
Étudions plus précisément le type de transformation linéaire présenté dans cet
exemple. Nous continuons à utiliser les notations du paragraphe précédent.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 179
C M = z
2
− 3z + (3/2)
2 = (z − 3/2)
2
a une racine double 3/2. Il n’y a qu’une valeur propre λ = 3/2, de multiplicité 2.
Les vecteurs propres sont les solutions non nulles de l’équation
(M −(3/2)I 2 )X =0 ⇔
−1/2 1/2
−1/2 1/2
x
y
=
0
0
⇔ −x+y =0 ⇔
x
y
=t
1
1
, où t∈R.
L’ensemble des solutions, c’est-à-dire le sous-espace propre V (3/2), est de dimension 1, engendré par le vecteur propre
1
1
. D’après le critère de diagonalisation,
f n’est pas diagonalisable.
Troisième cas : a = −1/2 . La matrice est la transposée de la précédente, donc le
polynôme caractéristique est le même. Le sous-espace propre V (3/2) est encore
de dimension 1, engendré par le vecteur propre
1
−1
. Comme ci-dessus, on en
déduit que f n’est pas diagonalisable.
4. Trigonalisation
Comme on vient de le voir, une transformation linéaire n’est pas toujours diagonalisable, même si les racines du polynôme caractéristique appartiennent toutes à K.
Dans ce paragraphe, V est un K-espace vectoriel de dimension n.
Un exemple. Soit f une transformation de V . Supposons que, dans une certaine
base, la matrice M de f est triangulaire à coefficients diagonaux tous égaux :
M =
⎡
⎢
⎣
a
0 a
∗
. . .
. . .
0 · · · a
⎤
⎥
⎦ , où a ∈ K.
Le polynôme caractéristique de f est (a − z)
n , la seule racine est a, de multiplicité
n, donc a est la seule valeur propre de f .
D’après le critère, f est diagonalisable si et seulement si dim V (a) = n, c’est-à-dire si
et seulement si V (a) = V . Cette condition signifie que pour tout vecteur u ∈ V , on a
f (u)=au, autrement dit f =aid V (ou encore, si a =0, f est l’homothétie de rapport a).
Nous avons ainsi montré que f n’est diagonalisable que si c’est la transformation
u → au, c’est-à-dire si M est la matrice diagonale aI n .
Étudions plus précisément le type de transformation linéaire présenté dans cet
exemple. Nous continuons à utiliser les notations du paragraphe précédent.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 179