Corollaire. Soient V et V
des espaces vectoriels tels que dim V = dim V
et soit
f : V → V
une application linéaire.
® f est bijective si et seulement si Ker f = {0}.
® On a les équivalences : f est bijective ⇐⇒ Im f = V
⇐⇒ dim(Im f ) = dim V
.
Démonstration. Choisissons des bases de V et V
et soit M la matrice de f . Puisque
dim V = dim V
= n, la matrice M est carrée de taille n. D’après une proposition page 170,
l’application linéaire f est bijective si et seulement si M est inversible. Utilisons la proposition page 138 : M est inversible si et seulement si le système linéaire MX = 0 a pour seule
solution X = 0, ce qui équivaut à Ker f = {0}. D’après la même proposition, M est inversible
si et seulement si rg M = n, ce qui équivaut à dim(Im f ) = dim V
, ou encore à Im f = V
puisque Im f est un sous-espace vectoriel de V
(propriété (4) page 165).
3. Diagonalisation
Dans ce paragraphe,
® V est un K-espace vectoriel de dimension n et (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est une base de V ;
® f est une transformation linéaire de V et M est la matrice de f dans la base
(e 1 , e 2 , . . . , e n ).
Définitions
Un vecteur v non nul tel que f (v) est colinéaire à v s’appelle un vecteur propre de
f . Si v est un vecteur propre, le scalaire λ ∈ K tel que f (v) = λv s’appelle la valeur
propre associée. On dit aussi que v est vecteur propre pour la valeur propre λ.
Exemple.
f (av) (1/2)av
av
f (av + bw
av + bw
)
f (bw)
(3/2)bw
bw
x
y
Pour la transformation de R
2 définie par
f (x, y) = (x − y/2, −x/2 + y) :
® on a f (1, 1) = (1/2)(1, 1), donc le vecteur v = (1, 1)
est vecteur propre pour la valeur propre 1/2 ;
® le vecteur w = (1, −1) est propre pour la valeur
propre 3/2, car f (w) = (3/2)w.
La droite dirigée par v est transformée en elle-même,
de même que la droite dirigée par w.
Exemples
® Si r : R
2
→ R
2 est une rotation de centre l’origine et d’angle θ ∈ [0, 2π[ et si v est
un vecteur non nul, l’angle
v, r(v) a pour mesure θ : une rotation d’angle différent
de 0 et de π n’a donc pas de vecteur propre.
® Soit p : R
3
→ R
3 la projection orthogonale sur un plan vectoriel P (figure page
168). Pour tout vecteur v ∈ P , on a p(v) = v : tout vecteur non nul du plan P est
donc vecteur propre de p, avec 1 comme valeur propre. Soit u un vecteur non
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 173
des espaces vectoriels tels que dim V = dim V
et soit
f : V → V
une application linéaire.
® f est bijective si et seulement si Ker f = {0}.
® On a les équivalences : f est bijective ⇐⇒ Im f = V
⇐⇒ dim(Im f ) = dim V
.
Démonstration. Choisissons des bases de V et V
et soit M la matrice de f . Puisque
dim V = dim V
= n, la matrice M est carrée de taille n. D’après une proposition page 170,
l’application linéaire f est bijective si et seulement si M est inversible. Utilisons la proposition page 138 : M est inversible si et seulement si le système linéaire MX = 0 a pour seule
solution X = 0, ce qui équivaut à Ker f = {0}. D’après la même proposition, M est inversible
si et seulement si rg M = n, ce qui équivaut à dim(Im f ) = dim V
, ou encore à Im f = V
puisque Im f est un sous-espace vectoriel de V
(propriété (4) page 165).
3. Diagonalisation
Dans ce paragraphe,
® V est un K-espace vectoriel de dimension n et (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est une base de V ;
® f est une transformation linéaire de V et M est la matrice de f dans la base
(e 1 , e 2 , . . . , e n ).
Définitions
Un vecteur v non nul tel que f (v) est colinéaire à v s’appelle un vecteur propre de
f . Si v est un vecteur propre, le scalaire λ ∈ K tel que f (v) = λv s’appelle la valeur
propre associée. On dit aussi que v est vecteur propre pour la valeur propre λ.
Exemple.
f (av) (1/2)av
av
f (av + bw
av + bw
)
f (bw)
(3/2)bw
bw
x
y
Pour la transformation de R
2 définie par
f (x, y) = (x − y/2, −x/2 + y) :
® on a f (1, 1) = (1/2)(1, 1), donc le vecteur v = (1, 1)
est vecteur propre pour la valeur propre 1/2 ;
® le vecteur w = (1, −1) est propre pour la valeur
propre 3/2, car f (w) = (3/2)w.
La droite dirigée par v est transformée en elle-même,
de même que la droite dirigée par w.
Exemples
® Si r : R
2
→ R
2 est une rotation de centre l’origine et d’angle θ ∈ [0, 2π[ et si v est
un vecteur non nul, l’angle
v, r(v) a pour mesure θ : une rotation d’angle différent
de 0 et de π n’a donc pas de vecteur propre.
® Soit p : R
3
→ R
3 la projection orthogonale sur un plan vectoriel P (figure page
168). Pour tout vecteur v ∈ P , on a p(v) = v : tout vecteur non nul du plan P est
donc vecteur propre de p, avec 1 comme valeur propre. Soit u un vecteur non
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
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