nul et orthogonal à P ; alors p(u) est le vecteur nul, donc p(u) = 0u : le vecteur
u est vecteur propre pour la valeur propre 0.
® D’une manière générale, les éventuels vecteurs non nuls de Ker f sont les vecteurs
propres de f pour la valeur propre 0.
Supposons que λ est une valeur propre de f . Pour tout x∈V , posons g(x)=f (x)−λx,
ce qui définit la transformation linéaire g = f − λ id V . Par hypothèse, il existe un
vecteur propre v tel que f (v) = λv, donc g(v) = 0. Le vecteur v est non nul et
appartient au noyau de g : d’après le dernier corollaire du paragraphe précédent,
l’application g n’est donc pas bijective.
Réciproquement, si λ est un scalaire et si la transformation f − λ id V n’est pas
bijective, il existe un vecteur v non nul dans le noyau de f − λ id V . On a alors
0 = (f − λ id V )(v) = f (v) − λv, donc f (v) = λv et λ est une valeur propre. Puisque
la matrice de f − λ id V est M − λI n , on en déduit :
un scalaire λ ∈ K est une valeur propre de f si et
seulement si la matrice M − λI n n’est pas inversible.
Rappelons que, par définition, le polynôme caractéristique de f est C f (z)=det(M −zI n )
(page 171). Puisque la matrice M −λI n est inversible si et seulement si son déterminant
est non nul, on a la proposition suivante.
Proposition. Les valeurs propres de f sont les nombres λ ∈ K qui sont racines du
polynôme caractéristique de f .
Le polynôme caractéristique de f étant de degré n, f possède au plus n valeurs
propres.
Remarques
® Si M est une matrice triangulaire, les valeurs propres de f sont les nombres situés
sur la diagonale de M .
En effet, si M = [m ij ] est triangulaire, alors M − zI n aussi, donc det(M − zI n ) est
le produit (m 11 − z)(m 22 − z) · · · (m nn − z) des termes diagonaux.
® Si t est un scalaire, la matrice M − tI n est inversible sauf pour un nombre fini
de valeurs exceptionnelles de t, constituées précisément des racines du polynôme
caractéristique de M .
® Si toutes les racines du polynôme caractéristique de M sont dans K, la somme
des valeurs propres de M est égale à la trace de M .
Si ces racines sont λ 1 ,. . .,λ n , alors (−1)
n C M = (z−λ 1 )· · ·(z−λ n ) (page 171). Puisque
le coefficient de z
n−1 est − tr M , il vient − tr M = −λ 1 −λ 2 − · · · −λ n .
174 – DIAGONALISATION
u est vecteur propre pour la valeur propre 0.
® D’une manière générale, les éventuels vecteurs non nuls de Ker f sont les vecteurs
propres de f pour la valeur propre 0.
Supposons que λ est une valeur propre de f . Pour tout x∈V , posons g(x)=f (x)−λx,
ce qui définit la transformation linéaire g = f − λ id V . Par hypothèse, il existe un
vecteur propre v tel que f (v) = λv, donc g(v) = 0. Le vecteur v est non nul et
appartient au noyau de g : d’après le dernier corollaire du paragraphe précédent,
l’application g n’est donc pas bijective.
Réciproquement, si λ est un scalaire et si la transformation f − λ id V n’est pas
bijective, il existe un vecteur v non nul dans le noyau de f − λ id V . On a alors
0 = (f − λ id V )(v) = f (v) − λv, donc f (v) = λv et λ est une valeur propre. Puisque
la matrice de f − λ id V est M − λI n , on en déduit :
un scalaire λ ∈ K est une valeur propre de f si et
seulement si la matrice M − λI n n’est pas inversible.
Rappelons que, par définition, le polynôme caractéristique de f est C f (z)=det(M −zI n )
(page 171). Puisque la matrice M −λI n est inversible si et seulement si son déterminant
est non nul, on a la proposition suivante.
Proposition. Les valeurs propres de f sont les nombres λ ∈ K qui sont racines du
polynôme caractéristique de f .
Le polynôme caractéristique de f étant de degré n, f possède au plus n valeurs
propres.
Remarques
® Si M est une matrice triangulaire, les valeurs propres de f sont les nombres situés
sur la diagonale de M .
En effet, si M = [m ij ] est triangulaire, alors M − zI n aussi, donc det(M − zI n ) est
le produit (m 11 − z)(m 22 − z) · · · (m nn − z) des termes diagonaux.
® Si t est un scalaire, la matrice M − tI n est inversible sauf pour un nombre fini
de valeurs exceptionnelles de t, constituées précisément des racines du polynôme
caractéristique de M .
® Si toutes les racines du polynôme caractéristique de M sont dans K, la somme
des valeurs propres de M est égale à la trace de M .
Si ces racines sont λ 1 ,. . .,λ n , alors (−1)
n C M = (z−λ 1 )· · ·(z−λ n ) (page 171). Puisque
le coefficient de z
n−1 est − tr M , il vient − tr M = −λ 1 −λ 2 − · · · −λ n .
174 – DIAGONALISATION