2.3 Noyau et image d'une application linéaire
Soient V et V
des K-espaces vectoriels et f : V → V
une application linéaire.
® L’ensemble N = {u ∈ V | f (u) = 0} est un sous-espace vectoriel de V .
Le vecteur nul de V appartient à N , car f (0) = 0. De plus, si u et v appartiennent à
N , on a f (u + v) = f (u) + f (v) = 0 + 0 = 0 et pour tout λ ∈ K, f (λu) = λf (u) = λ0 = 0,
donc u + v et λu appartiennent à N .
® Soit W un sous-espace vectoriel de V . L’ensemble f (W ) des vecteurs f (w), où
w parcourt W , est un sous-espace vectoriel de V
.
En effet, si v
1 et v
2 sont des vecteurs de la forme v
1 = f (w 1 ) et v
2 = f (w 2 ), alors
w 1 + w 2 ∈ W et v
1 + v
2 = f (w 1 + w 2 ) est bien image par f d’un vecteur de W ; de
même, λw 1 appartient à W et λv
1 = f (λw 1 ).
Définitions
Soit f : V → V
une application linéaire.
® Le sous-espace vectoriel de V formé des vecteurs v ∈ V tels que f (v) = 0
s’appelle le noyau de f et se note Ker f .
® L’image de l’application f , c’est-à-dire l’ensemble f (V ), est un sous-espace
vectoriel de V
noté Im f .
Lorsque les espaces vectoriels sont de dimension finie, le calcul matriciel permet de
trouver les vecteurs du noyau et de l’image : on utilise pour cela la proposition
suivante.
Proposition. Supposons que B et B
sont des bases de V et V
. Soit f : V → V
une
application linéaire et soit M la matrice de f dans ces bases.
® Un vecteur v ∈ V est dans Ker f si et seulement si ses coordonnées X sont solution
du système linéaire MX = 0.
® Un vecteur v
∈ V
est dans Im f si et seulement si ses coordonnées sont combinaison
linéaire des vecteurs-colonne de M .
Corollaire. Supposons V et V
de dimension finie. On a les égalités :
i) dim Ker f = dim V − rg M ;
ii) dim Im f = rg M ;
iii) dim Ker f + dim Im f = dim V (formule de la dimension)
Démonstration. Les solutions de l’équation MX = 0 forment un sous-espace vectoriel de
dimension n−r, où n = dimV et r = rgM (résultat 2 page 114). D’après les propriétés page 165,
ce sous-espace vectoriel a la même dimension que le noyau de f , d’où (i). Posons dim V
= p.
Par définition de la matrice de f , la dimension de Im f est celle du sous-espace vectoriel de
K
p engendré par les colonnes de M . D’après le théorème page 137, cette dimension est égale
au rang de M , ce qui montre (ii). L’égalité (iii) résulte immédiatement de (i) et (ii).
172 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES
Soient V et V
des K-espaces vectoriels et f : V → V
une application linéaire.
® L’ensemble N = {u ∈ V | f (u) = 0} est un sous-espace vectoriel de V .
Le vecteur nul de V appartient à N , car f (0) = 0. De plus, si u et v appartiennent à
N , on a f (u + v) = f (u) + f (v) = 0 + 0 = 0 et pour tout λ ∈ K, f (λu) = λf (u) = λ0 = 0,
donc u + v et λu appartiennent à N .
® Soit W un sous-espace vectoriel de V . L’ensemble f (W ) des vecteurs f (w), où
w parcourt W , est un sous-espace vectoriel de V
.
En effet, si v
1 et v
2 sont des vecteurs de la forme v
1 = f (w 1 ) et v
2 = f (w 2 ), alors
w 1 + w 2 ∈ W et v
1 + v
2 = f (w 1 + w 2 ) est bien image par f d’un vecteur de W ; de
même, λw 1 appartient à W et λv
1 = f (λw 1 ).
Définitions
Soit f : V → V
une application linéaire.
® Le sous-espace vectoriel de V formé des vecteurs v ∈ V tels que f (v) = 0
s’appelle le noyau de f et se note Ker f .
® L’image de l’application f , c’est-à-dire l’ensemble f (V ), est un sous-espace
vectoriel de V
noté Im f .
Lorsque les espaces vectoriels sont de dimension finie, le calcul matriciel permet de
trouver les vecteurs du noyau et de l’image : on utilise pour cela la proposition
suivante.
Proposition. Supposons que B et B
sont des bases de V et V
. Soit f : V → V
une
application linéaire et soit M la matrice de f dans ces bases.
® Un vecteur v ∈ V est dans Ker f si et seulement si ses coordonnées X sont solution
du système linéaire MX = 0.
® Un vecteur v
∈ V
est dans Im f si et seulement si ses coordonnées sont combinaison
linéaire des vecteurs-colonne de M .
Corollaire. Supposons V et V
de dimension finie. On a les égalités :
i) dim Ker f = dim V − rg M ;
ii) dim Im f = rg M ;
iii) dim Ker f + dim Im f = dim V (formule de la dimension)
Démonstration. Les solutions de l’équation MX = 0 forment un sous-espace vectoriel de
dimension n−r, où n = dimV et r = rgM (résultat 2 page 114). D’après les propriétés page 165,
ce sous-espace vectoriel a la même dimension que le noyau de f , d’où (i). Posons dim V
= p.
Par définition de la matrice de f , la dimension de Im f est celle du sous-espace vectoriel de
K
p engendré par les colonnes de M . D’après le théorème page 137, cette dimension est égale
au rang de M , ce qui montre (ii). L’égalité (iii) résulte immédiatement de (i) et (ii).
172 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES