Formule de changement de base. Soit f : V → V une transformation linéaire. Si
M est la matrice de f dans la base B , la matrice de f dans la base B
est P
−1 MP .
Démonstration. Tout vecteur v ∈ V a des coordonnées X dans la base B , des coordonnées
X
dans la base B
et l’on a X = P X
. Notons Y les coordonnées de f (v) dans la base
B et Y
les coordonnées de f (v) dans B
de sorte qu’on a aussi Y = P Y
. Puisque M
est la matrice de f dans la base B , on a Y = MX et il vient Y
= P
−1 Y = P
−1 (MX) =
(P
−1 M )(P X
) = (P
−1 MP )X
. La matrice de f dans la base B
est donc P
−1 MP .
Un changement de base s’exprime par un changement de coordonnées (page 24) :
par le changement de coordonnées X
= P
−1 X , la transformation
X → MX de K
n devient X
→ (P
−1 MP )X
.
Polynôme caractéristique d'une transformation linéaire
Soit f :V →V une transformation linéaire, de matrices M et M
dans les bases B et B
.
Rappelons que nous avons défini le polynôme caractéristique de M (page 151) : c’est
le polynôme C M (z) = det(M − zI n ). Puisque M
= P
−1 MP , où P est la matrice de
passage de B à B
, on a M
− zI n = P
−1 MP − P
−1 zI n P = P
−1 (M − zI n )P . Comme
le déterminant d’un produit de matrices est le produit des déterminants, on en déduit
C M = det(M
− zI n ) = det
P
−1 (M − zI n )P
= det(P
−1 ) det(M − zI n ) det P
= det(M − zI n ) det(P
−1 ) det P = C M (z) , car det(P
−1 ) = (det P )
−1 .
Si des matrices représentent la même transformation linéaire dans des
bases différentes, elles ont le même polynôme caractéristique.
Le polynôme C M ne dépend donc que de la transformation f .
Définition
Si la transformation f a pour matrice M dans une base de V , le polynôme C M
s’appelle le polynôme caractéristique de f et se note C f .
Pour calculer le polynôme caractéristique d’une transformation f , on peut utiliser la
matrice de f dans n’importe quelle base.
Conséquence. Comme le polynôme caractéristique ne dépend que de f , chacun
de ses coefficients ne dépend que de f . Puisqu’on a
C M (z) = (−1)
n z
n + (−1)
n−1 (tr M )z
n−1 + · · · + a 1 z + det M ,
on en déduit que
® le déterminant de M ne dépend que de f : on pose det f = det M .
® la trace de M ne dépend que de f : on pose tr f = tr M .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 171
M est la matrice de f dans la base B , la matrice de f dans la base B
est P
−1 MP .
Démonstration. Tout vecteur v ∈ V a des coordonnées X dans la base B , des coordonnées
X
dans la base B
et l’on a X = P X
. Notons Y les coordonnées de f (v) dans la base
B et Y
les coordonnées de f (v) dans B
de sorte qu’on a aussi Y = P Y
. Puisque M
est la matrice de f dans la base B , on a Y = MX et il vient Y
= P
−1 Y = P
−1 (MX) =
(P
−1 M )(P X
) = (P
−1 MP )X
. La matrice de f dans la base B
est donc P
−1 MP .
Un changement de base s’exprime par un changement de coordonnées (page 24) :
par le changement de coordonnées X
= P
−1 X , la transformation
X → MX de K
n devient X
→ (P
−1 MP )X
.
Polynôme caractéristique d'une transformation linéaire
Soit f :V →V une transformation linéaire, de matrices M et M
dans les bases B et B
.
Rappelons que nous avons défini le polynôme caractéristique de M (page 151) : c’est
le polynôme C M (z) = det(M − zI n ). Puisque M
= P
−1 MP , où P est la matrice de
passage de B à B
, on a M
− zI n = P
−1 MP − P
−1 zI n P = P
−1 (M − zI n )P . Comme
le déterminant d’un produit de matrices est le produit des déterminants, on en déduit
C M = det(M
− zI n ) = det
P
−1 (M − zI n )P
= det(P
−1 ) det(M − zI n ) det P
= det(M − zI n ) det(P
−1 ) det P = C M (z) , car det(P
−1 ) = (det P )
−1 .
Si des matrices représentent la même transformation linéaire dans des
bases différentes, elles ont le même polynôme caractéristique.
Le polynôme C M ne dépend donc que de la transformation f .
Définition
Si la transformation f a pour matrice M dans une base de V , le polynôme C M
s’appelle le polynôme caractéristique de f et se note C f .
Pour calculer le polynôme caractéristique d’une transformation f , on peut utiliser la
matrice de f dans n’importe quelle base.
Conséquence. Comme le polynôme caractéristique ne dépend que de f , chacun
de ses coefficients ne dépend que de f . Puisqu’on a
C M (z) = (−1)
n z
n + (−1)
n−1 (tr M )z
n−1 + · · · + a 1 z + det M ,
on en déduit que
® le déterminant de M ne dépend que de f : on pose det f = det M .
® la trace de M ne dépend que de f : on pose tr f = tr M .
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 171