® Si f est une application linéaire bijective, la bijection réciproque est une application
linéaire.
Supposons maintenant que B est une base de V et B
une base de V
.
Proposition. Soient f et g des applications linéaires de V dans V
, de matrices M et
N dans les bases B et B
.
i) L’application linéaire f + g a pour matrice M + N et λf a pour matrice λM .
ii) Supposons dim V = dim V
. L’application f est bijective si et seulement si la matrice
M est inversible et dans ce cas, la matrice de f
−1 dans les bases B
et B est M
−1 .
Démonstration. La propriété (i) est évidente. Supposons dim V = dim V
= n. Pour tous vecteurs v ∈ V et v
∈ V
, la relation v
= f (v) équivaut à X
= MX , où X est le vecteur-colonne
des coordonnées de v dans B et X
celui des coordonnées de v
dans B
. L’application f est
donc bijective si et seulement si l’application X → MX de K
n dans K
n est bijective. D’après
la proposition page 138, on en déduit que f est bijective si et seulement si M est inversible.
Dans ce cas, on a les équivalences v = f
−1 (v
) ⇐⇒ v
= f (v) ⇐⇒ X
= MX ⇐⇒ X = M
−1 X
,
donc la matrice de f
−1 dans les bases B
et B est M
−1 .
Proposition. Soient f, g : V → V des transformations linéaires de V . Si f et g ont
pour matrice M et N dans la base B , alors f ◦ g a pour matrice MN dans la base B .
Démonstration. Posons n = dim V . Soient v ∈ V et X ∈ K
n le vecteur-colonne des coordonnées de v dans la base B . Les coordonnées de g(v) sont données par le vecteur-colonne
Y = NX et les coordonnées de f ◦ g(v) = f
g(v)
sont données par Z = MY . Puisque
Z = M (NX) = (MN)X , la matrice de g ◦ f dans la base B est MN .
Exemples
® Dans R
2 , la rotation de centre l’origine et d’angle θ est X → M (θ)X , où
M (θ) =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
. Si l’on compose cette rotation avec une rotation de
même centre et d’angle θ
, on obtient la rotation d’angle θ
+ θ. Par conséquent
M (θ
)M (θ) = M (θ
+ θ). On en déduit que pour tout entier n 1, on a
M (θ)
n = M (nθ) et
M (θ)
−1 = M (−θ) =
t
M (θ)
.
® Soit P un plan vectoriel de R
3 , de base (e 1 , e 2 ), et soit e 3 un vecteur orthogonal à
P : si P a pour équation ax + by + cz = 0, le vecteur e 3 = (a, b, c) convient. Notons
p : R
3
→ R
3 la projection orthogonale sur P , donc p(xe 1 + ye 2 + ze 3 ) = xe 1 + ye 2
(figure page 168). La matrice de p dans la base (e 1 , e 2 , e 3 ) est M =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
.
Puisque p ◦ p = p, on en déduit M
2 = M .
Changement de base
Soient B et B
des bases du même espace vectoriel V de dimension n et soit
P ∈ M n (K) la matrice de passage de B à B
(définition page 166).
170 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES
linéaire.
Supposons maintenant que B est une base de V et B
une base de V
.
Proposition. Soient f et g des applications linéaires de V dans V
, de matrices M et
N dans les bases B et B
.
i) L’application linéaire f + g a pour matrice M + N et λf a pour matrice λM .
ii) Supposons dim V = dim V
. L’application f est bijective si et seulement si la matrice
M est inversible et dans ce cas, la matrice de f
−1 dans les bases B
et B est M
−1 .
Démonstration. La propriété (i) est évidente. Supposons dim V = dim V
= n. Pour tous vecteurs v ∈ V et v
∈ V
, la relation v
= f (v) équivaut à X
= MX , où X est le vecteur-colonne
des coordonnées de v dans B et X
celui des coordonnées de v
dans B
. L’application f est
donc bijective si et seulement si l’application X → MX de K
n dans K
n est bijective. D’après
la proposition page 138, on en déduit que f est bijective si et seulement si M est inversible.
Dans ce cas, on a les équivalences v = f
−1 (v
) ⇐⇒ v
= f (v) ⇐⇒ X
= MX ⇐⇒ X = M
−1 X
,
donc la matrice de f
−1 dans les bases B
et B est M
−1 .
Proposition. Soient f, g : V → V des transformations linéaires de V . Si f et g ont
pour matrice M et N dans la base B , alors f ◦ g a pour matrice MN dans la base B .
Démonstration. Posons n = dim V . Soient v ∈ V et X ∈ K
n le vecteur-colonne des coordonnées de v dans la base B . Les coordonnées de g(v) sont données par le vecteur-colonne
Y = NX et les coordonnées de f ◦ g(v) = f
g(v)
sont données par Z = MY . Puisque
Z = M (NX) = (MN)X , la matrice de g ◦ f dans la base B est MN .
Exemples
® Dans R
2 , la rotation de centre l’origine et d’angle θ est X → M (θ)X , où
M (θ) =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
. Si l’on compose cette rotation avec une rotation de
même centre et d’angle θ
, on obtient la rotation d’angle θ
+ θ. Par conséquent
M (θ
)M (θ) = M (θ
+ θ). On en déduit que pour tout entier n 1, on a
M (θ)
n = M (nθ) et
M (θ)
−1 = M (−θ) =
t
M (θ)
.
® Soit P un plan vectoriel de R
3 , de base (e 1 , e 2 ), et soit e 3 un vecteur orthogonal à
P : si P a pour équation ax + by + cz = 0, le vecteur e 3 = (a, b, c) convient. Notons
p : R
3
→ R
3 la projection orthogonale sur P , donc p(xe 1 + ye 2 + ze 3 ) = xe 1 + ye 2
(figure page 168). La matrice de p dans la base (e 1 , e 2 , e 3 ) est M =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
.
Puisque p ◦ p = p, on en déduit M
2 = M .
Changement de base
Soient B et B
des bases du même espace vectoriel V de dimension n et soit
P ∈ M n (K) la matrice de passage de B à B
(définition page 166).
170 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES