vecteur-colonne des coordonnées de f (v). Par définition de la matrice M de f , les coordonnées de f (e j ) forment la j -ième colonne de M ; en appelant M j cette colonne, il vient
Y =x 1 M 1 +x 2 M 2 ···+x n M n =x 1 M E 1 +x 2 M E 2 +···+x n M E n , car M j =M E j
=M (x 1 E 1 +x 2 E 2 +···+x n E n )=MX .
Proposition. Soit M la matrice d’une application linéaire f : V → V
dans des bases
B et B
. Si le vecteur v ∈ V a pour coordonnées X dans la base B , alors f (v) a pour
coordonnées MX dans la base B
.
Sur les coordonnées des vecteurs, l’application f se traduit par
l’application X → MX de K
n dans K
p .
Soit f une transformation linéaire de V et soit ϕ : V → K
n la bijection qui à tout
vecteur v ∈ V associe ses coordonnées X dans une base B . Notons L : K
n
→ K
n la
transformation X → MX , où M est la matrice de f dans B . On obtient L à partir de
f par le changement de référentiel ϕ (page 24), autrement dit : ϕ ◦ f ◦ ϕ
−1 = L.
V
ϕ
f
/ / V
ϕ
K
n
L
/ / K
n
v
_
ϕ
f / / f (v)
_
ϕ
X
/ / MX
Exemple. Soit a un nombre réel. Pour tout polynôme P (z), posons f (P )=zP
+aP .
Si P est de degré n, alors zP
est de degré n−2+1 = n−1, donc f (P ) est de degré
n si a = 0, de degré n−1 si a = 0. On définit ainsi une application f : P n → P n et
comme la dérivation est une opération linéaire, f est linéaire.
Supposons n = 3 et calculons la matrice de f dans la base (1, z, z
2 , z
3 ) de l’espace
vectoriel P 3 . On a f (1) = a, f (z) = az, f (z
2 ) = 2z + az
2 et f (z
3 ) = 6z
2 + az
3 .
La matrice de f dans la base (1, z, z
2 , z
3 ) est donc
⎡
⎣
a 0 0 0
0 a 2 0
0 0 a 6
0 0 0 a
⎤
⎦ .
Remarques
Si V est un K-espace vectoriel de dimension n, alors
® toute transformation linéaire de V a une matrice carrée de taille n ;
® dans n’importe quelle base de V , la matrice de la transformation identité est la
matrice unité I n .
2.2 Calcul sur les applications linéaires
Soient V et V
des K-espaces vectoriels. Les propriétés suivantes sont immédiates.
® Si f et g sont des applications linéaires de V dans V
, la somme f +g:v →f (v)+g(v)
est une application linéaire de V dans V
, de même que l’application λf :v →λf (v).
® La composée de deux applications linéaires est linéaire.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 169
Y =x 1 M 1 +x 2 M 2 ···+x n M n =x 1 M E 1 +x 2 M E 2 +···+x n M E n , car M j =M E j
=M (x 1 E 1 +x 2 E 2 +···+x n E n )=MX .
Proposition. Soit M la matrice d’une application linéaire f : V → V
dans des bases
B et B
. Si le vecteur v ∈ V a pour coordonnées X dans la base B , alors f (v) a pour
coordonnées MX dans la base B
.
Sur les coordonnées des vecteurs, l’application f se traduit par
l’application X → MX de K
n dans K
p .
Soit f une transformation linéaire de V et soit ϕ : V → K
n la bijection qui à tout
vecteur v ∈ V associe ses coordonnées X dans une base B . Notons L : K
n
→ K
n la
transformation X → MX , où M est la matrice de f dans B . On obtient L à partir de
f par le changement de référentiel ϕ (page 24), autrement dit : ϕ ◦ f ◦ ϕ
−1 = L.
V
ϕ
f
/ / V
ϕ
K
n
L
/ / K
n
v
_
ϕ
f / / f (v)
_
ϕ
X
/ / MX
Exemple. Soit a un nombre réel. Pour tout polynôme P (z), posons f (P )=zP
+aP .
Si P est de degré n, alors zP
est de degré n−2+1 = n−1, donc f (P ) est de degré
n si a = 0, de degré n−1 si a = 0. On définit ainsi une application f : P n → P n et
comme la dérivation est une opération linéaire, f est linéaire.
Supposons n = 3 et calculons la matrice de f dans la base (1, z, z
2 , z
3 ) de l’espace
vectoriel P 3 . On a f (1) = a, f (z) = az, f (z
2 ) = 2z + az
2 et f (z
3 ) = 6z
2 + az
3 .
La matrice de f dans la base (1, z, z
2 , z
3 ) est donc
⎡
⎣
a 0 0 0
0 a 2 0
0 0 a 6
0 0 0 a
⎤
⎦ .
Remarques
Si V est un K-espace vectoriel de dimension n, alors
® toute transformation linéaire de V a une matrice carrée de taille n ;
® dans n’importe quelle base de V , la matrice de la transformation identité est la
matrice unité I n .
2.2 Calcul sur les applications linéaires
Soient V et V
des K-espaces vectoriels. Les propriétés suivantes sont immédiates.
® Si f et g sont des applications linéaires de V dans V
, la somme f +g:v →f (v)+g(v)
est une application linéaire de V dans V
, de même que l’application λf :v →λf (v).
® La composée de deux applications linéaires est linéaire.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
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