® Soit V l’espace vectoriel des fonctions continues sur le segment [a, b] et soit
ϕ : [a, b] → R une fonction donnée. D’après les propriétés de linéarité de l’intégrale,
l’application f →
b
a
f (t)ϕ(t) dt est une application linéaire de V dans R.
Une rotation. Posons M θ =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
. La transformation linéaire de R
2 définie
par X → M θ X est la rotation de centre l’origine et d’angle θ.
Posons
x
y
= X et
x
y
= M θ X =
x cos θ − y sin θ
x sin θ + y cos θ
. En introduisant les nombres
complexes z = x + i y et z
= x
+ i y
, il vient en effet
z
= x(cos θ + i sin θ) + i y(cos θ + i sin θ) = (x + i y)e
i θ = ze
i θ .
On sait que cette formule traduit, sur les affixes des points, la rotation de centre
l’origine et d’angle θ (page 41).
Une projection. Soit P un plan vectoriel de R
3 . Choisissons une base (e 1 , e 2 ) de P
et un vecteur e 3 n’appartenant pas à P .
P
e1
e2
e 3
Soit p la projection sur le plan P dans la direction e 3 .
On a p(e 1 ) = e 1 , p(e 2 ) = e 2 et p(e 3 ) = 0. Puisque p est une
transformation linéaire, cela détermine le projeté d’un vecteur
quelconque : pour tout vecteur xe 1 + ye 2 + ze 3 de R
3 , on a en
effet p(xe 1 + ye 2 + ze 3 ) = xp(e 1 ) + yp(e 2 ) + zp(e 3 ) = xe 1 + ye 2 .
2.1 Matrice d'une application linéaire
Soient V et V
des K-espaces vectoriels de dimension n = dim V et p = dim V
.
Donnons-nous une base B =(e 1 ,e 2 ,. . .,e n ) de V et une base B
=(e
1 ,e
2 ,. . .,e
p ) de V
.
Soit f : V → V
une application linéaire.
Formons la matrice M dont la j -ème colonne est constituée des coordonnées de f (e j )
dans la base B
. Si f (e j )=a 1j e
1 +a 2j e
2 +· · ·+a pj e
p pour tout j =1,2,. . .,n, on obtient
M =
f (e 1 ) f (e 2 ) · · · f (e n )
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. . .
. . .
. . .
a p1 a p2 · · · a pn
⎤
⎥
⎥
⎦
e
1
e
2
. . .
e
p
Définition
La matrice M s’appelle la matrice de l’application linéaire f dans les bases B et B
.
Si V = V
et B = B
, on dit simplement que M est la matrice de f dans la base B .
Soit v un vecteur appartenant à V , de coordonnées X =
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ dans la base B . Puisque
v = x 1 e 1 +· · ·+x n e n , on a l’égalité f (v)=x 1 f (e 1 )+x 2 f (e 2 )+· · ·+x n f (e n ) dans l’espace
vectoriel V
. Prenons les coordonnées de chaque membre dans la base B
, en notant Y le
168 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES
ϕ : [a, b] → R une fonction donnée. D’après les propriétés de linéarité de l’intégrale,
l’application f →
b
a
f (t)ϕ(t) dt est une application linéaire de V dans R.
Une rotation. Posons M θ =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
. La transformation linéaire de R
2 définie
par X → M θ X est la rotation de centre l’origine et d’angle θ.
Posons
x
y
= X et
x
y
= M θ X =
x cos θ − y sin θ
x sin θ + y cos θ
. En introduisant les nombres
complexes z = x + i y et z
= x
+ i y
, il vient en effet
z
= x(cos θ + i sin θ) + i y(cos θ + i sin θ) = (x + i y)e
i θ = ze
i θ .
On sait que cette formule traduit, sur les affixes des points, la rotation de centre
l’origine et d’angle θ (page 41).
Une projection. Soit P un plan vectoriel de R
3 . Choisissons une base (e 1 , e 2 ) de P
et un vecteur e 3 n’appartenant pas à P .
P
e1
e2
e 3
Soit p la projection sur le plan P dans la direction e 3 .
On a p(e 1 ) = e 1 , p(e 2 ) = e 2 et p(e 3 ) = 0. Puisque p est une
transformation linéaire, cela détermine le projeté d’un vecteur
quelconque : pour tout vecteur xe 1 + ye 2 + ze 3 de R
3 , on a en
effet p(xe 1 + ye 2 + ze 3 ) = xp(e 1 ) + yp(e 2 ) + zp(e 3 ) = xe 1 + ye 2 .
2.1 Matrice d'une application linéaire
Soient V et V
des K-espaces vectoriels de dimension n = dim V et p = dim V
.
Donnons-nous une base B =(e 1 ,e 2 ,. . .,e n ) de V et une base B
=(e
1 ,e
2 ,. . .,e
p ) de V
.
Soit f : V → V
une application linéaire.
Formons la matrice M dont la j -ème colonne est constituée des coordonnées de f (e j )
dans la base B
. Si f (e j )=a 1j e
1 +a 2j e
2 +· · ·+a pj e
p pour tout j =1,2,. . .,n, on obtient
M =
f (e 1 ) f (e 2 ) · · · f (e n )
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. . .
. . .
. . .
a p1 a p2 · · · a pn
⎤
⎥
⎥
⎦
e
1
e
2
. . .
e
p
Définition
La matrice M s’appelle la matrice de l’application linéaire f dans les bases B et B
.
Si V = V
et B = B
, on dit simplement que M est la matrice de f dans la base B .
Soit v un vecteur appartenant à V , de coordonnées X =
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ dans la base B . Puisque
v = x 1 e 1 +· · ·+x n e n , on a l’égalité f (v)=x 1 f (e 1 )+x 2 f (e 2 )+· · ·+x n f (e n ) dans l’espace
vectoriel V
. Prenons les coordonnées de chaque membre dans la base B
, en notant Y le
168 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES