2. Applications linéaires
Soit M une matrice à p lignes et n colonnes. Pour tout vecteur-colonne X ∈K
n , le produit MX est un vecteur-colonne de K
p . D’après les propriétés du produit de matrices,
on a les formules suivantes, pour tous vecteurs-colonne X,X
∈K
n et pour tout scalaire
λ∈K : M (X +X
)=MX +MX
et M (λX)=λM X . En notant f :K
n
→K
p l’application
X → MX , ces relations s’écrivent f (X + X
) = f (X) + f (X
) et f (λX) = λf (X).
Définition
Soient V et V
des K-espaces vectoriels et soit f : V → V
une application. On
dit que f est une application linéaire si pour tous vecteurs u, v ∈ V et pour tout
scalaire λ ∈ K, on a f (u + v) = f (u) + f (v) et f (λu) = λf (u).
Propriétés des applications linéaires
1) Si f est une application linéaire de V dans V
, alors pour toute combinaison
linéaire de vecteurs de V , on a
f (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + · · · + λ k u k ) = λ 1 f (u 1 ) + λ 2 f (u 2 ) + · · · + λ k f (u k ) .
L’image par f d’une combinaison des u i est la combinaison correspondante des f (u i ).
2) Supposons que B = (e 1 , . . . , e n ) est une base de V . Une application linéaire
f : V → V
est entièrement déterminée par les vecteurs v
1 = f (e 1 ), . . . , v
n = f (e n )
de V
: si un vecteur x ∈ V a pour coordonnées x 1 , . . . , x n dans la base B , on
a en effet f (x) = x 1 v
1 + · · · + x n v
n .
3) Si f : V → V
est une application linéaire, alors f (0) = 0.
En effet, si u est un vecteur quelconque de V , 0 u = 0 est le vecteur nul de V et
f (0) = f (0 u) = 0 f (u) = 0 est le vecteur nul de V
.
Une application linéaire de V dans lui-même s’appelle une transformation linéaire de V .
Exemples
® Si M est une matrice à p lignes et n colonnes, l’application X → MX est une
application linéaire de K
n dans K
p .
® L’application qui à tout polynôme associe son polynôme dérivé est une application linéaire P n (K) → P n−1 (K). La multiplication par un polynôme A fixé est
l’application linéaire P(K) → P(K) définie par P → AP , pour tout P ∈ P(K).
® Donnons-nous une fonction continue ω : R → R et pour toute fonction t → y(t) deux
fois dérivable sur R, posons D(y) = y
+ ωy, où ωy désigne la fonction produit
t → ω(t)y(t). Si y et z sont des fonctions deux fois dérivables, on a (y+z)
= y
+z
et ω(y+z) = ωy+ωz, donc D(y+z) = D(y)+D(z) ; de même, D(λy) = λD(y) pour
tout λ ∈ R.
En notant V l’espace vectoriel des fonctions de R dans R et W le sous-espace
vectoriel des fonctions deux fois dérivables, l’application D:W →V est donc linéaire.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 167
Soit M une matrice à p lignes et n colonnes. Pour tout vecteur-colonne X ∈K
n , le produit MX est un vecteur-colonne de K
p . D’après les propriétés du produit de matrices,
on a les formules suivantes, pour tous vecteurs-colonne X,X
∈K
n et pour tout scalaire
λ∈K : M (X +X
)=MX +MX
et M (λX)=λM X . En notant f :K
n
→K
p l’application
X → MX , ces relations s’écrivent f (X + X
) = f (X) + f (X
) et f (λX) = λf (X).
Définition
Soient V et V
des K-espaces vectoriels et soit f : V → V
une application. On
dit que f est une application linéaire si pour tous vecteurs u, v ∈ V et pour tout
scalaire λ ∈ K, on a f (u + v) = f (u) + f (v) et f (λu) = λf (u).
Propriétés des applications linéaires
1) Si f est une application linéaire de V dans V
, alors pour toute combinaison
linéaire de vecteurs de V , on a
f (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + · · · + λ k u k ) = λ 1 f (u 1 ) + λ 2 f (u 2 ) + · · · + λ k f (u k ) .
L’image par f d’une combinaison des u i est la combinaison correspondante des f (u i ).
2) Supposons que B = (e 1 , . . . , e n ) est une base de V . Une application linéaire
f : V → V
est entièrement déterminée par les vecteurs v
1 = f (e 1 ), . . . , v
n = f (e n )
de V
: si un vecteur x ∈ V a pour coordonnées x 1 , . . . , x n dans la base B , on
a en effet f (x) = x 1 v
1 + · · · + x n v
n .
3) Si f : V → V
est une application linéaire, alors f (0) = 0.
En effet, si u est un vecteur quelconque de V , 0 u = 0 est le vecteur nul de V et
f (0) = f (0 u) = 0 f (u) = 0 est le vecteur nul de V
.
Une application linéaire de V dans lui-même s’appelle une transformation linéaire de V .
Exemples
® Si M est une matrice à p lignes et n colonnes, l’application X → MX est une
application linéaire de K
n dans K
p .
® L’application qui à tout polynôme associe son polynôme dérivé est une application linéaire P n (K) → P n−1 (K). La multiplication par un polynôme A fixé est
l’application linéaire P(K) → P(K) définie par P → AP , pour tout P ∈ P(K).
® Donnons-nous une fonction continue ω : R → R et pour toute fonction t → y(t) deux
fois dérivable sur R, posons D(y) = y
+ ωy, où ωy désigne la fonction produit
t → ω(t)y(t). Si y et z sont des fonctions deux fois dérivables, on a (y+z)
= y
+z
et ω(y+z) = ωy+ωz, donc D(y+z) = D(y)+D(z) ; de même, D(λy) = λD(y) pour
tout λ ∈ R.
En notant V l’espace vectoriel des fonctions de R dans R et W le sous-espace
vectoriel des fonctions deux fois dérivables, l’application D:W →V est donc linéaire.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
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