Changement de base
Supposons que B = (e 1 , e 2 , . . . , e p ) et B
= (e
1 , e
2 , . . . , e
p ) sont des bases de V .
Définition
Écrivons en colonne les coordonnées de e
1 , e
2 , . . . , e
p dans la base B . On obtient
une matrice carrée de taille p, appelée la matrice de passage de la base B à la base B
.
Proposition. Soient u un vecteur appartenant à V , X = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) ses coordonnées dans la base B et X
= (x
1 , x
2 , . . . , x
p ) ses coordonnées dans la base B
. On a
X = P X
, où P est la matrice de passage de la base B à la base B
.
Démonstration. Dans la base B
= (e
1 ,e
2 ,. . .,e
p ), le vecteur-colonne des coordonnées de e
i
est E i , le i-ème vecteur canonique de K
p . On sait que le produit P E i est la i-ème colonne de
P . Par définition de la matrice de passage, P E i est donc le vecteur-colonne des coordonnées
de e
i dans la base B . Puisque u = x
1 e
1 + · · · + x
p e
p , les coordonnées de u dans la base B
sont x
1 P E 1 + · · · + x
p P E p = P (x
1 E 1 + · · · + x
p E p ) = P X
.
Une matrice de passage est toujours inversible : si P est la matrice de passage de
B à B
, alors P
−1 est la matrice de passage de B
à B .
Exemple. Les vecteurs e
1 = (1, −1, 2), e
2 = (1, 0, 1), e
3 = (2, 1, −1) forment une
base de R
3 , car le déterminant
1 1 2
−1 0 1
2 1 −1
= −2 est différent de 0. La matrice de
passage de la base canonique de R
3 à la base B
= (e
1 ,e
2 ,e
3 ) étant P =
1 1 2
−1 0 1
2 1 −1
,
les coordonnées d’un vecteur (x, y, z) ∈ R
3 dans la base B
sont données par le
vecteur-colonne X
tel que X = P X
, c’est-à-dire X
= P
−1 X . On a
x
y
z
= P
x
y
z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
+ y
+ 2z
= x
− x
+ z
= y
2x
+ y
− z
= z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
+ y
+ 2z
= x
y
+ 3z
= x + y
− y
− 5z
= −2x + z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
+ y
+ 2z
= x
y
+ 3z
= x + y
2z
= x − y − z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
2x
= x − 3y − z
2y
= −x + 5y + 3z
2z
= x − y − z
On a donc (x, y, z) = 1
2
(x − 3y − z)e
1 + 1
2
(−x + 5y + 3z)e
2 + 1
2
(x − y − z)e
3 .
Remarque
Quand on connaît les coordonnées d’un vecteur dans une base, pour calculer ses
coordonnées dans une nouvelle base, il faut inverser la matrice de passage.
166 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES
Supposons que B = (e 1 , e 2 , . . . , e p ) et B
= (e
1 , e
2 , . . . , e
p ) sont des bases de V .
Définition
Écrivons en colonne les coordonnées de e
1 , e
2 , . . . , e
p dans la base B . On obtient
une matrice carrée de taille p, appelée la matrice de passage de la base B à la base B
.
Proposition. Soient u un vecteur appartenant à V , X = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) ses coordonnées dans la base B et X
= (x
1 , x
2 , . . . , x
p ) ses coordonnées dans la base B
. On a
X = P X
, où P est la matrice de passage de la base B à la base B
.
Démonstration. Dans la base B
= (e
1 ,e
2 ,. . .,e
p ), le vecteur-colonne des coordonnées de e
i
est E i , le i-ème vecteur canonique de K
p . On sait que le produit P E i est la i-ème colonne de
P . Par définition de la matrice de passage, P E i est donc le vecteur-colonne des coordonnées
de e
i dans la base B . Puisque u = x
1 e
1 + · · · + x
p e
p , les coordonnées de u dans la base B
sont x
1 P E 1 + · · · + x
p P E p = P (x
1 E 1 + · · · + x
p E p ) = P X
.
Une matrice de passage est toujours inversible : si P est la matrice de passage de
B à B
, alors P
−1 est la matrice de passage de B
à B .
Exemple. Les vecteurs e
1 = (1, −1, 2), e
2 = (1, 0, 1), e
3 = (2, 1, −1) forment une
base de R
3 , car le déterminant
1 1 2
−1 0 1
2 1 −1
= −2 est différent de 0. La matrice de
passage de la base canonique de R
3 à la base B
= (e
1 ,e
2 ,e
3 ) étant P =
1 1 2
−1 0 1
2 1 −1
,
les coordonnées d’un vecteur (x, y, z) ∈ R
3 dans la base B
sont données par le
vecteur-colonne X
tel que X = P X
, c’est-à-dire X
= P
−1 X . On a
x
y
z
= P
x
y
z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
+ y
+ 2z
= x
− x
+ z
= y
2x
+ y
− z
= z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
+ y
+ 2z
= x
y
+ 3z
= x + y
− y
− 5z
= −2x + z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
+ y
+ 2z
= x
y
+ 3z
= x + y
2z
= x − y − z
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
2x
= x − 3y − z
2y
= −x + 5y + 3z
2z
= x − y − z
On a donc (x, y, z) = 1
2
(x − 3y − z)e
1 + 1
2
(−x + 5y + 3z)e
2 + 1
2
(x − y − z)e
3 .
Remarque
Quand on connaît les coordonnées d’un vecteur dans une base, pour calculer ses
coordonnées dans une nouvelle base, il faut inverser la matrice de passage.
166 – APPLICATIONS LIN ´
EAIRES