2) Supposons que V est engendré par n vecteurs. Alors on a dim V n et si
dim V = n, alors ces vecteurs forment une base de V .
3) Supposons que u 1 , u 2 , . . . , u q sont des vecteurs indépendants appartenant à V .
Alors on a dim V q et si q = dim V , alors ces vecteurs forment une base de V .
4) Si W est un sous-espace vectoriel de V , alors dimW dimV et l’on a l’équivalence
W = V ⇐⇒ dim W = dim V .
Si un espace vectoriel est engendré par un nombre fini de vecteurs, on dit qu’il est
de dimension finie.
Exemples.
® Les polynômes 1, z, . . . , z
n forment une base de l’espace vectoriel P n (K) des
polynômes de degré inférieur ou égal à n : on a donc dim P n (K) = n+1.
® Les np matrices canoniques E i,j forment une base de l’espace vectoriel M p,n (K),
donc dim M p,n (K) = np.
1.2 Coordonnées d'un vecteur dans une base
Soient V un K-espace vectoriel et (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de V .
Tout vecteur x ∈ V s’écrit de manière unique sous la forme x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +· · ·+x p e p ,
où les x i sont des scalaires de K.
Définition
Les nombres x 1 , x 2 , . . . , x p s’appellent les coordonnées du vecteur x dans la base
(e 1 , e 2 , . . . , e p ).
À tout x ∈ V , associons le vecteur-colonne X =
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ formé des coordonnées de x
dans la base (e 1 , e 2 , . . . , e p ). On a X ∈ K
p .
Soient x et y des vecteurs appartenant à V .
® Si x a pour coordonnées X et si y a pour coordonnées Y , alors x + y a pour
coordonnées X + Y .
® Pour tout scalaire λ, le vecteur λx a pour coordonnées λX .
Les calculs dans l’espace vectoriel V se traduisent donc sur les coordonnées par les
mêmes calculs dans K
p . On en déduit les propriétés suivantes.
Propriété 1. Des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u q de V sont indépendants si et seulement si
leurs vecteurs de coordonnées X 1 , X 2 , . . . , X q sont indépendants dans K
p .
Propriété 2. Des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n engendrent V si et seulement si leurs vecteurs
de coordonnées X 1 , X 2 , . . . , X n engendrent K
p .
Propriété 3. Soient u 1 , u 2 , . . . , u p des vecteurs appartenant à V , de coordonnées
X 1 , X 2 , . . . , X p . Les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u p forment une base de V si et seulement
si la matrice carrée de colonnes X 1 , X 2 , . . . , X p est de rang p, c’est-à-dire si et
seulement si det(X 1 , X 2 , . . . , X p ) = 0.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 165
dim V = n, alors ces vecteurs forment une base de V .
3) Supposons que u 1 , u 2 , . . . , u q sont des vecteurs indépendants appartenant à V .
Alors on a dim V q et si q = dim V , alors ces vecteurs forment une base de V .
4) Si W est un sous-espace vectoriel de V , alors dimW dimV et l’on a l’équivalence
W = V ⇐⇒ dim W = dim V .
Si un espace vectoriel est engendré par un nombre fini de vecteurs, on dit qu’il est
de dimension finie.
Exemples.
® Les polynômes 1, z, . . . , z
n forment une base de l’espace vectoriel P n (K) des
polynômes de degré inférieur ou égal à n : on a donc dim P n (K) = n+1.
® Les np matrices canoniques E i,j forment une base de l’espace vectoriel M p,n (K),
donc dim M p,n (K) = np.
1.2 Coordonnées d'un vecteur dans une base
Soient V un K-espace vectoriel et (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de V .
Tout vecteur x ∈ V s’écrit de manière unique sous la forme x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +· · ·+x p e p ,
où les x i sont des scalaires de K.
Définition
Les nombres x 1 , x 2 , . . . , x p s’appellent les coordonnées du vecteur x dans la base
(e 1 , e 2 , . . . , e p ).
À tout x ∈ V , associons le vecteur-colonne X =
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ formé des coordonnées de x
dans la base (e 1 , e 2 , . . . , e p ). On a X ∈ K
p .
Soient x et y des vecteurs appartenant à V .
® Si x a pour coordonnées X et si y a pour coordonnées Y , alors x + y a pour
coordonnées X + Y .
® Pour tout scalaire λ, le vecteur λx a pour coordonnées λX .
Les calculs dans l’espace vectoriel V se traduisent donc sur les coordonnées par les
mêmes calculs dans K
p . On en déduit les propriétés suivantes.
Propriété 1. Des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u q de V sont indépendants si et seulement si
leurs vecteurs de coordonnées X 1 , X 2 , . . . , X q sont indépendants dans K
p .
Propriété 2. Des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n engendrent V si et seulement si leurs vecteurs
de coordonnées X 1 , X 2 , . . . , X n engendrent K
p .
Propriété 3. Soient u 1 , u 2 , . . . , u p des vecteurs appartenant à V , de coordonnées
X 1 , X 2 , . . . , X p . Les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u p forment une base de V si et seulement
si la matrice carrée de colonnes X 1 , X 2 , . . . , X p est de rang p, c’est-à-dire si et
seulement si det(X 1 , X 2 , . . . , X p ) = 0.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 165