Plus généralement, les np matrices E i,j forment une base (dite canonique) de
l’espace vectoriel M p,n (K), car pour toute matrice A = [a ij ], on a A =
i,j a ij E i,j .
b) La somme de deux matrices carrées symétriques est symétrique et si l’on multiplie une matrice symétrique par un scalaire, elle reste symétrique. L’ensemble des
matrices symétriques de taille n est donc un sous-espace vectoriel de M n (K).
Pour n=2, la matrice symétrique générale s’écrit
x y
y t
=x
1 0
0 0
+y
0 1
1 0
+t
0 0
0 1
:
les trois matrices E 1,1 , E 1,2 + E 2,1 , E 2,2 forment donc une base de l’espace vectoriel
des matrices symétriques de taille 2.
Plus généralement, l’espace vectoriel des matrices symétriques de taille n a pour
base les matrices E i,i et E j,k + E k,j pour 1 i n et 1 j < k n ; cette base
comporte n +
n(n−1)
2
=
n(n+1)
2
éléments.
1.1 Bases et dimension
Les résultats que nous avons démontrés dans l’espace vectoriel K
p restent vrais dans
un K-espace vectoriel possédant une base e 1 , . . . , e p . Voici un théorème permettant
de construire des bases.
Théorème de la base incomplète. Soit V un K-espace vectoriel engendré par un
nombre fini de vecteurs v 1 ,. . .,v q et soient e 1 ,. . .,e n des vecteurs indépendants appartenant
à V . Alors il existe une base de V de la forme e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k , où les f i sont certains
des vecteurs v 1 , . . . , v q .
Corollaire. Tout espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs possède une base.
Démonstration du théorème. Si chacun des vecteurs v j est combinaison linéaire de e 1 ,
e 2 , . . . , e n , alors tout vecteur de V est combinaison de e 1 , e 2 , . . . , e n , car il est combinaison
des v j : dans ce cas, e 1 , e 2 , . . . , e n est une base de V . Supposons que certains vecteurs
v j ne sont pas combinaison linéaire de e 1 , . . . , e n et complétons e 1 , e 2 , . . . , e n avec le plus
grand nombre possible de vecteurs f 1 , . . . , f k pris parmi les v j et de telle manière que
e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k restent indépendants. Si v j est un vecteur non sélectionné, alors par construction, e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k , v j ne sont pas indépendants, donc v j est combinaison linéaire
de e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k . Tous les vecteurs v j sont donc combinaison de e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k
et comme ci-dessus, on en déduit que les vecteurs e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k engendrent V . Comme
ces vecteurs sont indépendants, ils forment une base de V .
Propriétés des bases. Nous les avons déjà énoncées dans le cadre de l’espace
vectoriel K
p ; les démonstrations sont les mêmes, en utilisant une base quelconque
de V au lieu de la base canonique de K
p (chapitre 4, paragraphe 3).
Soit V un K-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs.
1) Toutes les bases de V ont le même nombre d’éléments. Ce nombre s’appelle la
dimension de V et se note dim V .
164 – ESPACES VECTORIELS
l’espace vectoriel M p,n (K), car pour toute matrice A = [a ij ], on a A =
i,j a ij E i,j .
b) La somme de deux matrices carrées symétriques est symétrique et si l’on multiplie une matrice symétrique par un scalaire, elle reste symétrique. L’ensemble des
matrices symétriques de taille n est donc un sous-espace vectoriel de M n (K).
Pour n=2, la matrice symétrique générale s’écrit
x y
y t
=x
1 0
0 0
+y
0 1
1 0
+t
0 0
0 1
:
les trois matrices E 1,1 , E 1,2 + E 2,1 , E 2,2 forment donc une base de l’espace vectoriel
des matrices symétriques de taille 2.
Plus généralement, l’espace vectoriel des matrices symétriques de taille n a pour
base les matrices E i,i et E j,k + E k,j pour 1 i n et 1 j < k n ; cette base
comporte n +
n(n−1)
2
=
n(n+1)
2
éléments.
1.1 Bases et dimension
Les résultats que nous avons démontrés dans l’espace vectoriel K
p restent vrais dans
un K-espace vectoriel possédant une base e 1 , . . . , e p . Voici un théorème permettant
de construire des bases.
Théorème de la base incomplète. Soit V un K-espace vectoriel engendré par un
nombre fini de vecteurs v 1 ,. . .,v q et soient e 1 ,. . .,e n des vecteurs indépendants appartenant
à V . Alors il existe une base de V de la forme e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k , où les f i sont certains
des vecteurs v 1 , . . . , v q .
Corollaire. Tout espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs possède une base.
Démonstration du théorème. Si chacun des vecteurs v j est combinaison linéaire de e 1 ,
e 2 , . . . , e n , alors tout vecteur de V est combinaison de e 1 , e 2 , . . . , e n , car il est combinaison
des v j : dans ce cas, e 1 , e 2 , . . . , e n est une base de V . Supposons que certains vecteurs
v j ne sont pas combinaison linéaire de e 1 , . . . , e n et complétons e 1 , e 2 , . . . , e n avec le plus
grand nombre possible de vecteurs f 1 , . . . , f k pris parmi les v j et de telle manière que
e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k restent indépendants. Si v j est un vecteur non sélectionné, alors par construction, e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k , v j ne sont pas indépendants, donc v j est combinaison linéaire
de e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k . Tous les vecteurs v j sont donc combinaison de e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k
et comme ci-dessus, on en déduit que les vecteurs e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f k engendrent V . Comme
ces vecteurs sont indépendants, ils forment une base de V .
Propriétés des bases. Nous les avons déjà énoncées dans le cadre de l’espace
vectoriel K
p ; les démonstrations sont les mêmes, en utilisant une base quelconque
de V au lieu de la base canonique de K
p (chapitre 4, paragraphe 3).
Soit V un K-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs.
1) Toutes les bases de V ont le même nombre d’éléments. Ce nombre s’appelle la
dimension de V et se note dim V .
164 – ESPACES VECTORIELS