Si W est un sous-espace vectoriel de V , alors W , muni des mêmes opérations que
V , est un K-espace vectoriel. Voici des exemples d’espaces vectoriels.
Des espaces vectoriels de fonctions
a) Étant donné un ensemble E , l’ensemble de toutes les applications de E dans K
est un K-espace vectoriel, le vecteur nul étant la fonction 0 : E → K définie par
0(x) = 0 quel que soit x ∈ E .
b) Prenons E = [a, b] (avec a < b) et posons f n (x) = x
n pour tout entier n 0
(pour n = 0, on a par convention f 0 (x) = x
0 = 1). La combinaison linéaire g =
λ n f n +λ n−1 f n−1 + · · · +λ 1 f 1 +λ 0 f 0 est la fonction définie par
g(x) = λ n x
n + λ n−1 x
n−1 + · · · + λ 1 x + λ 0 , pour tout x ∈ [a, b].
Puisque g est une fonction polynôme, elle n’est nulle que si tous ses coefficients
sont nuls. Dans l’espace vectoriel des applications de [a, b] dans R, les vecteurs
f 0 , f 1 , . . . , f n sont donc indépendants. Comme cela est vrai quel que soit n, on
peut trouver, dans cet espace, des familles de vecteurs indépendants comportant
autant d’éléments que l’on veut.
c) L’ensemble des suites (u n ) à termes réels est un R-espace vectoriel. Une combinaison linéaire de suites qui tendent vers 0 tend vers 0 : l’ensemble des suites
réelles qui tendent vers 0 est donc un sous-espace vectoriel.
d) Si f, g : R → R sont des fonctions dérivables, leur somme t → f (t) + g(t) est dérivable ainsi que la fonction t → λf (t) : les fonctions dérivables forment donc un
sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de R dans R.
Des espaces vectoriels de polynômes
® L’ensemble P(K) des polynômes à coefficients dans K est un K-espace vectoriel.
En faisant des combinaisons linéaires d’un nombre fini de polynômes, on n’obtiendra pas de polynômes de degré supérieur au plus grand degré des polynômes
employés : l’espace vectoriel des polynômes ne peut donc pas être engendré par
un nombre fini de vecteurs.
® Donnons-nous un entier d positif ou nul. Les polynômes de degré au plus d
sont de la forme a 0 + a 1 z + · · · + a d z
d : avec le polynôme nul, ils constituent un
sous-espace vectoriel de P(K), noté P d (K). Les d+1 polynômes 1,z,. . .,z
d forment
une base de P d (K).
Des espaces vectoriels de matrices
a) L’ensemble M p,n (K) des matrices à p lignes, n colonnes et à coefficients dans K est
un espace vectoriel. Le vecteur nul est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.
Considérons les matrices E i,j dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui en position i,j qui vaut 1. Par exemple, pour p = n = 2, on a E 1,2 =
0 1
0 0
, E 2,2 =
0 0
0 1
et xE 1,1 + yE 1,2 + zE 2,1 + tE 2,2 =
x y
z t
.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 163
V , est un K-espace vectoriel. Voici des exemples d’espaces vectoriels.
Des espaces vectoriels de fonctions
a) Étant donné un ensemble E , l’ensemble de toutes les applications de E dans K
est un K-espace vectoriel, le vecteur nul étant la fonction 0 : E → K définie par
0(x) = 0 quel que soit x ∈ E .
b) Prenons E = [a, b] (avec a < b) et posons f n (x) = x
n pour tout entier n 0
(pour n = 0, on a par convention f 0 (x) = x
0 = 1). La combinaison linéaire g =
λ n f n +λ n−1 f n−1 + · · · +λ 1 f 1 +λ 0 f 0 est la fonction définie par
g(x) = λ n x
n + λ n−1 x
n−1 + · · · + λ 1 x + λ 0 , pour tout x ∈ [a, b].
Puisque g est une fonction polynôme, elle n’est nulle que si tous ses coefficients
sont nuls. Dans l’espace vectoriel des applications de [a, b] dans R, les vecteurs
f 0 , f 1 , . . . , f n sont donc indépendants. Comme cela est vrai quel que soit n, on
peut trouver, dans cet espace, des familles de vecteurs indépendants comportant
autant d’éléments que l’on veut.
c) L’ensemble des suites (u n ) à termes réels est un R-espace vectoriel. Une combinaison linéaire de suites qui tendent vers 0 tend vers 0 : l’ensemble des suites
réelles qui tendent vers 0 est donc un sous-espace vectoriel.
d) Si f, g : R → R sont des fonctions dérivables, leur somme t → f (t) + g(t) est dérivable ainsi que la fonction t → λf (t) : les fonctions dérivables forment donc un
sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de R dans R.
Des espaces vectoriels de polynômes
® L’ensemble P(K) des polynômes à coefficients dans K est un K-espace vectoriel.
En faisant des combinaisons linéaires d’un nombre fini de polynômes, on n’obtiendra pas de polynômes de degré supérieur au plus grand degré des polynômes
employés : l’espace vectoriel des polynômes ne peut donc pas être engendré par
un nombre fini de vecteurs.
® Donnons-nous un entier d positif ou nul. Les polynômes de degré au plus d
sont de la forme a 0 + a 1 z + · · · + a d z
d : avec le polynôme nul, ils constituent un
sous-espace vectoriel de P(K), noté P d (K). Les d+1 polynômes 1,z,. . .,z
d forment
une base de P d (K).
Des espaces vectoriels de matrices
a) L’ensemble M p,n (K) des matrices à p lignes, n colonnes et à coefficients dans K est
un espace vectoriel. Le vecteur nul est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.
Considérons les matrices E i,j dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui en position i,j qui vaut 1. Par exemple, pour p = n = 2, on a E 1,2 =
0 1
0 0
, E 2,2 =
0 0
0 1
et xE 1,1 + yE 1,2 + zE 2,1 + tE 2,2 =
x y
z t
.
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
EAIRES – 163