multiplie par un scalaire non nul ; dans l’ensemble P d (K), on a donc encore les
opérations d’addition et de produit par un scalaire.
Dans ces exemples, les règles de calcul concernant la somme et le produit par un
scalaire sont celles qu’on pratique dans l’espace vectoriel K
p . Énonçons-les dans le
cas général d’un ensemble V d’éléments appelés vecteurs.
i) Il existe un vecteur nul 0 tel que u + 0 = 0 + u = u pour tout vecteur u ∈ V .
ii) On a u + v = v + u et u + (v + w) = (u + v) + w pour tous vecteurs u, v, w ∈ V .
iii) Pour tout vecteur u ∈ V , il existe un vecteur opposé, noté −u, tel que u + (−u) =
(−u) + u = 0.
iv) Pour tous vecteurs u, v ∈ V et pour tous scalaires λ, μ ∈ K, on a
λ(u + v) = λu + λv , (λ + μ)u = λu + μu , λ(μu) = (λμ)u , 1 u = u .
Un ensemble V muni d’opérations ayant ces propriétés s’appelle un K-espace vectoriel.
On démontre facilement que dans un K-espace vectoriel V , on a aussi les relations
(−1)u = −u , 0 u = 0 , λ0 = 0
et l’équivalence
λu = 0 ⇐⇒ (λ = 0 ou u = 0).
Dans un K-espace vectoriel, on définit les combinaisons linéaires de vecteurs et les
notions de vecteurs indépendants, de vecteurs qui engendrent et de base comme
nous l’avons fait dans K
p .
Définitions
Soit V un K-espace vectoriel et soient u 1 , . . . , u n des vecteurs appartenant à V .
® Un vecteur λ 1 u 1 +λ 2 u 2 +· · ·+λ n u n s’appelle une combinaison linéaire des vecteurs
u 1 , . . . , u n .
® Les vecteurs u 1 , . . . , u n sont indépendants si l’équation linéaire
x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0 n’a que la solution x 1 = x 2 = · · · = x n = 0.
® Si tout vecteur de V est combinaison linéaire des vecteurs u 1 . . . , u n , on dit que
u 1 , . . . , u n engendrent V .
® Les vecteurs u 1 , . . . , u n forment une base de V si, pour tout vecteur v ∈ V ,
l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = v possède une unique solution.
Des vecteurs u 1 , . . . , u n de l’espace vectoriel V forment une base de V
si et seulement s’ils engendrent V et sont indépendants.
Définition
Soit V un K-espace vectoriel et soit W une partie de V . On dit que W est un
sous-espace vectoriel de V si le vecteur nul appartient à W et si toute combinaison
linéaire d’éléments de W appartient à W .
162 – ESPACES VECTORIELS
opérations d’addition et de produit par un scalaire.
Dans ces exemples, les règles de calcul concernant la somme et le produit par un
scalaire sont celles qu’on pratique dans l’espace vectoriel K
p . Énonçons-les dans le
cas général d’un ensemble V d’éléments appelés vecteurs.
i) Il existe un vecteur nul 0 tel que u + 0 = 0 + u = u pour tout vecteur u ∈ V .
ii) On a u + v = v + u et u + (v + w) = (u + v) + w pour tous vecteurs u, v, w ∈ V .
iii) Pour tout vecteur u ∈ V , il existe un vecteur opposé, noté −u, tel que u + (−u) =
(−u) + u = 0.
iv) Pour tous vecteurs u, v ∈ V et pour tous scalaires λ, μ ∈ K, on a
λ(u + v) = λu + λv , (λ + μ)u = λu + μu , λ(μu) = (λμ)u , 1 u = u .
Un ensemble V muni d’opérations ayant ces propriétés s’appelle un K-espace vectoriel.
On démontre facilement que dans un K-espace vectoriel V , on a aussi les relations
(−1)u = −u , 0 u = 0 , λ0 = 0
et l’équivalence
λu = 0 ⇐⇒ (λ = 0 ou u = 0).
Dans un K-espace vectoriel, on définit les combinaisons linéaires de vecteurs et les
notions de vecteurs indépendants, de vecteurs qui engendrent et de base comme
nous l’avons fait dans K
p .
Définitions
Soit V un K-espace vectoriel et soient u 1 , . . . , u n des vecteurs appartenant à V .
® Un vecteur λ 1 u 1 +λ 2 u 2 +· · ·+λ n u n s’appelle une combinaison linéaire des vecteurs
u 1 , . . . , u n .
® Les vecteurs u 1 , . . . , u n sont indépendants si l’équation linéaire
x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0 n’a que la solution x 1 = x 2 = · · · = x n = 0.
® Si tout vecteur de V est combinaison linéaire des vecteurs u 1 . . . , u n , on dit que
u 1 , . . . , u n engendrent V .
® Les vecteurs u 1 , . . . , u n forment une base de V si, pour tout vecteur v ∈ V ,
l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = v possède une unique solution.
Des vecteurs u 1 , . . . , u n de l’espace vectoriel V forment une base de V
si et seulement s’ils engendrent V et sont indépendants.
Définition
Soit V un K-espace vectoriel et soit W une partie de V . On dit que W est un
sous-espace vectoriel de V si le vecteur nul appartient à W et si toute combinaison
linéaire d’éléments de W appartient à W .
162 – ESPACES VECTORIELS