Chapitre 6
Espaces vectoriels
et applications linéaires
1. Espaces vectoriels
Au chapitre 4, nous avons utilisé les combinaisons linéaires de vecteurs de K
n . Voici
d’autres exemples où l’on définit de manière naturelle la somme et le produit par
un nombre.
Exemples
a) Soit I une partie de R. Si f et g sont des fonctions de I dans R,
® la somme f + g : I → R est la fonction t → f (t) + g(t) ;
® pour tout nombre réel λ, le produit λf : I → R est la fonction t → λf (t).
b) Si E est un ensemble quelconque et si f et g sont des fonctions de E dans K,
ou bien de E dans K
p , on définit de même la somme f + g et le produit λf par
un nombre appartenant à K.
Ainsi, la somme de deux suites (u n ) et (v n ) est la suite de terme général u n + v n
et pour λ réel (ou complexe), le produit par λ de la suite (u n ) est la suite de
terme général λu n .
c) Si A et B sont des matrices à p lignes et n colonnes, leur somme A + B et le
produit λA par un scalaire sont des matrices à p lignes et n colonnes.
d) La somme de deux polynômes à coefficients dans K est un polynôme à coefficients
dans K, de même que le produit d’un polynôme par un scalaire de K. Dans l’ensemble P(K) des polynômes à coefficients dans K, on dispose donc d’une addition
et du produit par un scalaire.
Soit d un entier positif et soit P d (K) l’ensemble des polynômes de la forme
a d z
d + a d−1 z
d−1 + · · · + a 1 z + a 0 : ce sont les polynômes de degré au plus d et
le polynôme nul. Le degré d’une somme de polynômes est inférieur ou égal au
maximum des degrés, et le degré d’un polynôme ne change pas quand on le
Chapitre 6 – ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN ´
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