6
@ . Tableaux d'achats-ventes. On considère une économie en système fermé, formée de n
secteurs d’activité S 1 , . . . , S n . Notons x i le volume des ventes du secteur S i et x i,j
la part de ces ventes utilisée en achat par le secteur S j , où j = i. L’équilibre du
secteur S 1 s’écrit donc x 1,2 + x 1,3 + · · · + x 1,n = x 1 .
a) Faisons l’hypothèse (raisonnable) que le montant des biens fournis par le secteur
S i au secteur S j est proportionnel à la production-vente de S j : cela se traduit
par l’existence d’un coefficient constant a i,j tel que x i,j = a i,j x j . Posons pour
simplifier a i,i = 0 et notons A la matrice carrée de taille n : A = [a i,j ]. Posons
M = I n − A et X =
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ . Montrer que l’on a MX = 0.
b) Notons p 1 , . . . , p n les prix des produits des différents secteurs. En supposant qu’il
n’y a pas de profit, le prix de vente d’une unité du secteur S 1 est égal à la somme
des prix d’achats auprès des autres secteurs, ce qui s’écrit p 1 = p 2 a 2,1 + · · ·+ p n a n,1 .
Notons P = [ p 1 p 2 · · · p n ] la matrice-ligne des prix. Montrer que l’on a P M = 0.
c) On suppose n=3, a 1,2 =1/5, a 1,3 =2/3, a 2,1 =3/5, a 2,3 =8/15, a 3,1 =1/3, a 3,2 =2/3.
(i) Calculer le déterminant et le rang de M .
(ii) Résoudre l’équation linéaire MX = 0 et calculer les valeurs relatives x 2 /x 1 et
x 3 /x 1 .
(iii) Résoudre l’équation linéaire P M = 0 (où l’inconnue est le vecteur-ligne P ) et
calculer les valeurs relatives p 2 /p 1 et p 3 /p 1 .
7
@ . Équilibre de la consommation. Considérons une économie ayant trois secteurs d’activité S 1 , S 2 , S 3 produisant des quantités de biens x 1 , x 2 , x 3 . Comme dans l’exercice
précédent, la fraction de x i utilisée par le secteur S j est a i,j x j , où (pour i = j ),
a i,j est un coefficient caractéristique de cette économie. Notons y 1 la demande des
consommateurs pour le produit du secteur S 1 , y 2 la demande concernant S 2 et y 3
la demande concernant S 3 .
a) Écrire les équations qui expriment l’équilibre entre production et consommation
dans chacun des secteurs.
b) On suppose a 1,2 = 1/4, a 1,3 = 1/2, a 2,1 = 1/5, a 2,3 = 1/2, a 3,1 = 2/5 et a 3,2 = 3/4.
Écrire ces équations sous la forme MX = Y , où X =
x 1
x 2
x 3
et Y =
y 1
y 2
y 3
.
c) Montrer que la matrice M est inversible et calculer x 1 ,x 2 ,x 3 au moyen de y 1 ,y 2 ,y 3 .
d) On suppose que la demande des consommateurs pour le produit du secteur S 1
augmente d’une unité. Pour répondre à cette demande, de combien faudra-t-il
augmenter les productions dans chaque secteur ?
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 157
@ . Tableaux d'achats-ventes. On considère une économie en système fermé, formée de n
secteurs d’activité S 1 , . . . , S n . Notons x i le volume des ventes du secteur S i et x i,j
la part de ces ventes utilisée en achat par le secteur S j , où j = i. L’équilibre du
secteur S 1 s’écrit donc x 1,2 + x 1,3 + · · · + x 1,n = x 1 .
a) Faisons l’hypothèse (raisonnable) que le montant des biens fournis par le secteur
S i au secteur S j est proportionnel à la production-vente de S j : cela se traduit
par l’existence d’un coefficient constant a i,j tel que x i,j = a i,j x j . Posons pour
simplifier a i,i = 0 et notons A la matrice carrée de taille n : A = [a i,j ]. Posons
M = I n − A et X =
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ . Montrer que l’on a MX = 0.
b) Notons p 1 , . . . , p n les prix des produits des différents secteurs. En supposant qu’il
n’y a pas de profit, le prix de vente d’une unité du secteur S 1 est égal à la somme
des prix d’achats auprès des autres secteurs, ce qui s’écrit p 1 = p 2 a 2,1 + · · ·+ p n a n,1 .
Notons P = [ p 1 p 2 · · · p n ] la matrice-ligne des prix. Montrer que l’on a P M = 0.
c) On suppose n=3, a 1,2 =1/5, a 1,3 =2/3, a 2,1 =3/5, a 2,3 =8/15, a 3,1 =1/3, a 3,2 =2/3.
(i) Calculer le déterminant et le rang de M .
(ii) Résoudre l’équation linéaire MX = 0 et calculer les valeurs relatives x 2 /x 1 et
x 3 /x 1 .
(iii) Résoudre l’équation linéaire P M = 0 (où l’inconnue est le vecteur-ligne P ) et
calculer les valeurs relatives p 2 /p 1 et p 3 /p 1 .
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@ . Équilibre de la consommation. Considérons une économie ayant trois secteurs d’activité S 1 , S 2 , S 3 produisant des quantités de biens x 1 , x 2 , x 3 . Comme dans l’exercice
précédent, la fraction de x i utilisée par le secteur S j est a i,j x j , où (pour i = j ),
a i,j est un coefficient caractéristique de cette économie. Notons y 1 la demande des
consommateurs pour le produit du secteur S 1 , y 2 la demande concernant S 2 et y 3
la demande concernant S 3 .
a) Écrire les équations qui expriment l’équilibre entre production et consommation
dans chacun des secteurs.
b) On suppose a 1,2 = 1/4, a 1,3 = 1/2, a 2,1 = 1/5, a 2,3 = 1/2, a 3,1 = 2/5 et a 3,2 = 3/4.
Écrire ces équations sous la forme MX = Y , où X =
x 1
x 2
x 3
et Y =
y 1
y 2
y 3
.
c) Montrer que la matrice M est inversible et calculer x 1 ,x 2 ,x 3 au moyen de y 1 ,y 2 ,y 3 .
d) On suppose que la demande des consommateurs pour le produit du secteur S 1
augmente d’une unité. Pour répondre à cette demande, de combien faudra-t-il
augmenter les productions dans chaque secteur ?
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 157