8. Un déterminant de matrice antisymétrique. Montrer la formule
0 x y z
−x 0 t u
−y −t 0 v
−z −u −v 0
= (xv − yu + zt)
2
9. Soit le polynôme P = z
3 + z
2 + az + 9, où a est un nombre réel ou complexe.
a) Montrer que le résultant des polynômes P et P
est (4a + 39)(a
2
− 10a + 57).
b) Pour quelles valeurs de a le polynôme P a-t-il une racine multiple ?
c) Trouver toutes les racines de P dans le cas a = −39/4.
10
@ . Calculer les quatre valeurs du nombre complexe q pour lesquelles le système d’équations
2z
3 + q
= 0
z
2 + qz + 1 = 0
a une solution au moins. Résoudre le système pour ces
valeurs de q.
11. Approche numérique d'une équation différentielle. Considérons l’équation différentielle
d’Airy (∗) y
(t) + ty(t) = 0 (utilisée en Physique) et tâchons d’approximer les solutions y(t). Faisons les calculs sur l’intervalle [−2, 5] en des points t i régulièrement
espacés d’une quantité h > 0.
a) Montrer que l’on peut approcher les valeurs y(t i ) par des nombres y i vérifiant
les équations y i−1 − 2y i + y i+1 + h
2 t i y i = 0.
b) Intéressons-nous à la seule solution y(t) de (∗) qui passe par l’origine avec une
dérivée a, donc y(0) = 0 et y
(0) = a. Choisissons la subdivision de manière que
0 est l’un des points t i : il y a un indice p tel que t p = y p = 0. Montrer que dans
notre approximation, la condition y
(0) = a peut s’exprimer par y p+1 − y p−1 = 2ah.
c) Écrire les huit équations obtenues en choisissant h=1 et les points t i =i pour −2i
5. En déduire que les valeurs approchées y i de y(t i ) vérifient y 0 =0, y 1 =2a+y −1 et
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 −3 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
y −2
y −1
y 2
y 3
y 4
y 5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
−2a
2a
−2a
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
d)
t
y(t)
−2
5
1
1
Résoudre les équations précédentes. Dans le cas a = 1, dessiner la ligne brisée passant par les points (t i , y i ).
Ci-contre le graphe de la solution t → y(t) sur l’intervalle
[−2, 5], pour a = 1.
12
@ . Posons q(x, y) = ax
2 + bxy + cy
2 , A =
a b/2
b/2 c
et P =
p −uc
ua p+ub
, où a, b, c, p, u
sont des nombres réels.
a) Montrer que l’on a (
t P )AP = (p
2 + bup + acu
2 )A.
158 – EXERCICES
0 x y z
−x 0 t u
−y −t 0 v
−z −u −v 0
= (xv − yu + zt)
2
9. Soit le polynôme P = z
3 + z
2 + az + 9, où a est un nombre réel ou complexe.
a) Montrer que le résultant des polynômes P et P
est (4a + 39)(a
2
− 10a + 57).
b) Pour quelles valeurs de a le polynôme P a-t-il une racine multiple ?
c) Trouver toutes les racines de P dans le cas a = −39/4.
10
@ . Calculer les quatre valeurs du nombre complexe q pour lesquelles le système d’équations
2z
3 + q
= 0
z
2 + qz + 1 = 0
a une solution au moins. Résoudre le système pour ces
valeurs de q.
11. Approche numérique d'une équation différentielle. Considérons l’équation différentielle
d’Airy (∗) y
(t) + ty(t) = 0 (utilisée en Physique) et tâchons d’approximer les solutions y(t). Faisons les calculs sur l’intervalle [−2, 5] en des points t i régulièrement
espacés d’une quantité h > 0.
a) Montrer que l’on peut approcher les valeurs y(t i ) par des nombres y i vérifiant
les équations y i−1 − 2y i + y i+1 + h
2 t i y i = 0.
b) Intéressons-nous à la seule solution y(t) de (∗) qui passe par l’origine avec une
dérivée a, donc y(0) = 0 et y
(0) = a. Choisissons la subdivision de manière que
0 est l’un des points t i : il y a un indice p tel que t p = y p = 0. Montrer que dans
notre approximation, la condition y
(0) = a peut s’exprimer par y p+1 − y p−1 = 2ah.
c) Écrire les huit équations obtenues en choisissant h=1 et les points t i =i pour −2i
5. En déduire que les valeurs approchées y i de y(t i ) vérifient y 0 =0, y 1 =2a+y −1 et
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 −3 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
y −2
y −1
y 2
y 3
y 4
y 5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
−2a
2a
−2a
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
d)
t
y(t)
−2
5
1
1
Résoudre les équations précédentes. Dans le cas a = 1, dessiner la ligne brisée passant par les points (t i , y i ).
Ci-contre le graphe de la solution t → y(t) sur l’intervalle
[−2, 5], pour a = 1.
12
@ . Posons q(x, y) = ax
2 + bxy + cy
2 , A =
a b/2
b/2 c
et P =
p −uc
ua p+ub
, où a, b, c, p, u
sont des nombres réels.
a) Montrer que l’on a (
t P )AP = (p
2 + bup + acu
2 )A.
158 – EXERCICES