B = L
z
2 + ρ
z + 1/C
, il vient
R(A, B) =
1/C ρ L 0
0 1/C ρ L
1/C
ρ
L
0
0 1/C
ρ
L
et la condition est
1
L
C
− 1
LC
2 + 1
LL
ρ
C
−
ρ
C
ρ
L
−
ρ
L
= 0.
Exercices
1. Montrer que si r =±1, l’inverse de la matrice A =
⎡
⎣
1 r r
2 r
3
r 1 r r
2
r
2 r 1 r
r
3 r
2 r 1
⎤
⎦ est la matrice A
−1 =
1
r
2 −1
⎡
⎣
−1
r
0
0
r −r
2
−1
r
0
0
r
−r
2
−1 r
0
0
r
−1
⎤
⎦ . En déduire l’inverse de B =
⎡
⎣
1 −2 0 0
−2 5 −2 0
0 −2 5 −2
0 0 −2 1
⎤
⎦ .
2
@ . a) Calculer le déterminant de la matrice A =
b 1 a
1 a 1
a 1 b
. Montrer que si a = b, ce
déterminant est nul. Mettre en facteur a − b dans l’expression de det A.
b) Calculer le rang de la matrice A en fonction des valeurs de a et de b.
3. Soit L une matrice-ligne à n colonnes et C une matrice-colonne à n lignes. Montrer
que si L ou C n’est pas nulle, la matrice produit CL (qui est carrée de taille n)
est de rang 1.
4. On considère un système linéaire AX = K , où A est une matrice et K une matricecolonne non nulle. Supposons que X 1 et X 2 sont des solutions. Comment faut-il
choisir les nombres a 1 et a 2 pour que a 1 X 1 + a 2 X 2 soit solution ?
5. Matrices de Pauli. En Mécanique quantique, on utilise les matrices de Pauli. Ce sont
les matrices à coefficients complexes définies par
σ x =
0 1
1 0
, σ y =
0 − i
i 0
, σ z =
1 0
0 −1
a) Montrer que ces matrices ont pour déterminant −1 et pour trace 0.
b) Montrer que l’on a σ
2
x = σ
2
y = σ
2
z = I 2 , σ x σ y = −σ y σ x = i σ z et σ x σ y − σ y σ x = 2i σ z .
c) Démontrer l’égalité σ x σ y σ z = i I 2 .
d) Soit M =
a b
c d
. Trouver des nombres p,q x ,q y ,q z tels que M =pI 2 +q x σ x +q y σ y +q z σ z .
Vérifier que l’on a p = (1/2) tr(M ), q x = (1/2) tr(Mσ x ), q y = (1/2) tr(Mσ y ) et
q z = (1/2) tr(Mσ z ).
e) Les matrices de Pauli ont toutes le même polynôme caractéristique : calculer ce
polynôme.
156 – EXERCICES
z
2 + ρ
z + 1/C
, il vient
R(A, B) =
1/C ρ L 0
0 1/C ρ L
1/C
ρ
L
0
0 1/C
ρ
L
et la condition est
1
L
C
− 1
LC
2 + 1
LL
ρ
C
−
ρ
C
ρ
L
−
ρ
L
= 0.
Exercices
1. Montrer que si r =±1, l’inverse de la matrice A =
⎡
⎣
1 r r
2 r
3
r 1 r r
2
r
2 r 1 r
r
3 r
2 r 1
⎤
⎦ est la matrice A
−1 =
1
r
2 −1
⎡
⎣
−1
r
0
0
r −r
2
−1
r
0
0
r
−r
2
−1 r
0
0
r
−1
⎤
⎦ . En déduire l’inverse de B =
⎡
⎣
1 −2 0 0
−2 5 −2 0
0 −2 5 −2
0 0 −2 1
⎤
⎦ .
2
@ . a) Calculer le déterminant de la matrice A =
b 1 a
1 a 1
a 1 b
. Montrer que si a = b, ce
déterminant est nul. Mettre en facteur a − b dans l’expression de det A.
b) Calculer le rang de la matrice A en fonction des valeurs de a et de b.
3. Soit L une matrice-ligne à n colonnes et C une matrice-colonne à n lignes. Montrer
que si L ou C n’est pas nulle, la matrice produit CL (qui est carrée de taille n)
est de rang 1.
4. On considère un système linéaire AX = K , où A est une matrice et K une matricecolonne non nulle. Supposons que X 1 et X 2 sont des solutions. Comment faut-il
choisir les nombres a 1 et a 2 pour que a 1 X 1 + a 2 X 2 soit solution ?
5. Matrices de Pauli. En Mécanique quantique, on utilise les matrices de Pauli. Ce sont
les matrices à coefficients complexes définies par
σ x =
0 1
1 0
, σ y =
0 − i
i 0
, σ z =
1 0
0 −1
a) Montrer que ces matrices ont pour déterminant −1 et pour trace 0.
b) Montrer que l’on a σ
2
x = σ
2
y = σ
2
z = I 2 , σ x σ y = −σ y σ x = i σ z et σ x σ y − σ y σ x = 2i σ z .
c) Démontrer l’égalité σ x σ y σ z = i I 2 .
d) Soit M =
a b
c d
. Trouver des nombres p,q x ,q y ,q z tels que M =pI 2 +q x σ x +q y σ y +q z σ z .
Vérifier que l’on a p = (1/2) tr(M ), q x = (1/2) tr(Mσ x ), q y = (1/2) tr(Mσ y ) et
q z = (1/2) tr(Mσ z ).
e) Les matrices de Pauli ont toutes le même polynôme caractéristique : calculer ce
polynôme.
156 – EXERCICES