En faisant de même avec les p polynômes B, zB, . . . , z
p−1 B et en superposant les
deux tableaux, on obtient la matrice carrée de taille p + q
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 0 a 1 a 2 · · · a p
0 · · ·
0
0 a 0 a 1 · · · a p−1 a p 0 · · ·
0
0 0 a 0 a 1 · · · a p−1 a p 0 · · · 0
. . .
. . .
0 · · ·
0
a 0 a 1 · · · a p−1 a p
b 0 b 1 b 2 · · · · · · b q 0 · · ·
0
0 b 0 b 1 · · · · · · b q−1 b q 0 · · · 0
. . .
. . .
0 · · ·
0 b 0
b 1 · · · · · · b q−1 b q
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Le déterminant R(A,B) de cette matrice s’appelle le résultant des polynômes A et B.
S’il existe des polynômes non nuls P et Q tels que QA = P B, deg P < deg A et
deg Q < deg B , alors avec les notations précédentes, on obtient
v(QA) =
q−1
i=0
β i v(z
i A) = v(P B) =
p−1
j=0
γ j v(z
j B)
L’égalité v(QA) − v(P B) = 0 est une relation linéaire entre les vecteurs-lignes de la
matrice, donc le résultant est nul. Réciproquement, s’il existe une combinaison linéaire
q−1
i=0 β i v(z
i A) −
p−1
j=0 γ j v(z
j B) = 0 à coefficients non tous nuls, alors les polynômes
Q =
q−1
i=0 β i z
i et P =
p−1
j=0 γ j z
j sont non nuls et vérifient v(QA) = v(P B), donc
QA = P B. On a ainsi la proposition suivante.
Proposition. Des polynômes non constants A et B ont une racine complexe commune
si et seulement si leur résultant R(A, B) est nul.
Si l’on peut éliminer la variable z entre les deux équations A(z) = 0 et B(z) = 0,
on obtient une condition équivalente à R(A, B) = 0.
Exemple. Considérons un circuit électrique composé d’une résistance ρ, d’une inductance L et d’une capacité C montées en série. L’intensité en régime libre est
une fonction ι =
dq
dt
du temps, où la charge q(t) de la capacité satisfait l’équation
différentielle L
d
2 q
dt
2
+ ρ
dq
dt
+
q
C
= 0 (voir au chapitre 15).
Si les racines du polynôme A = Lz
2 +ρz +1/C sont les nombres complexes r ±ω i, où
ω = 0, les solutions sont q(t) = ae
rt cos(ωt + φ) et l’intensité présente des oscillations
amorties (car r = −ρ/2L est négatif). Si le polynôme A possède deux racines réelles
λ et μ, les solutions sont q(t) = ae
λt + be
μt : le régime est apériodique et l’intensité
tend encore vers 0 quand t tend vers l’infini, car λ et μ sont négatifs (page 52).
La condition pour que deux circuits oscillants aient un régime commun est R(A,B)=0,
où A et B sont les polynômes associés aux équations différentielles. En posant
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 155
p−1 B et en superposant les
deux tableaux, on obtient la matrice carrée de taille p + q
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 0 a 1 a 2 · · · a p
0 · · ·
0
0 a 0 a 1 · · · a p−1 a p 0 · · ·
0
0 0 a 0 a 1 · · · a p−1 a p 0 · · · 0
. . .
. . .
0 · · ·
0
a 0 a 1 · · · a p−1 a p
b 0 b 1 b 2 · · · · · · b q 0 · · ·
0
0 b 0 b 1 · · · · · · b q−1 b q 0 · · · 0
. . .
. . .
0 · · ·
0 b 0
b 1 · · · · · · b q−1 b q
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
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⎥
⎦
Le déterminant R(A,B) de cette matrice s’appelle le résultant des polynômes A et B.
S’il existe des polynômes non nuls P et Q tels que QA = P B, deg P < deg A et
deg Q < deg B , alors avec les notations précédentes, on obtient
v(QA) =
q−1
i=0
β i v(z
i A) = v(P B) =
p−1
j=0
γ j v(z
j B)
L’égalité v(QA) − v(P B) = 0 est une relation linéaire entre les vecteurs-lignes de la
matrice, donc le résultant est nul. Réciproquement, s’il existe une combinaison linéaire
q−1
i=0 β i v(z
i A) −
p−1
j=0 γ j v(z
j B) = 0 à coefficients non tous nuls, alors les polynômes
Q =
q−1
i=0 β i z
i et P =
p−1
j=0 γ j z
j sont non nuls et vérifient v(QA) = v(P B), donc
QA = P B. On a ainsi la proposition suivante.
Proposition. Des polynômes non constants A et B ont une racine complexe commune
si et seulement si leur résultant R(A, B) est nul.
Si l’on peut éliminer la variable z entre les deux équations A(z) = 0 et B(z) = 0,
on obtient une condition équivalente à R(A, B) = 0.
Exemple. Considérons un circuit électrique composé d’une résistance ρ, d’une inductance L et d’une capacité C montées en série. L’intensité en régime libre est
une fonction ι =
dq
dt
du temps, où la charge q(t) de la capacité satisfait l’équation
différentielle L
d
2 q
dt
2
+ ρ
dq
dt
+
q
C
= 0 (voir au chapitre 15).
Si les racines du polynôme A = Lz
2 +ρz +1/C sont les nombres complexes r ±ω i, où
ω = 0, les solutions sont q(t) = ae
rt cos(ωt + φ) et l’intensité présente des oscillations
amorties (car r = −ρ/2L est négatif). Si le polynôme A possède deux racines réelles
λ et μ, les solutions sont q(t) = ae
λt + be
μt : le régime est apériodique et l’intensité
tend encore vers 0 quand t tend vers l’infini, car λ et μ sont négatifs (page 52).
La condition pour que deux circuits oscillants aient un régime commun est R(A,B)=0,
où A et B sont les polynômes associés aux équations différentielles. En posant
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 155