Élimination polynomiale
On a parfois besoin de savoir si deux polynômes ont une racine complexe commune.
Nous allons voir que les déterminants permettent d’exprimer cette propriété par une
relation entre les coefficients des polynômes : cela est utile, car on ne sait pas, en
général, calculer les racines des polynômes.
Soient A et B des polynômes non constants à coefficients réels ou complexes.
® Supposons que A et B ont une racine commune a ∈ C. On a donc A = (z − a)P et
B=(z−a)Q, où P et Q sont des polynômes. Il vient QA−P B=Q(z−a)P −P (z−a)Q=0,
donc QA = P B, avec deg P = (deg A) − 1 et deg Q = (deg B) − 1.
® Supposons que A et B n’ont pas de racine commune, c’est-à-dire sont étrangers.
D’après la proposition page 50, il existe des polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
Supposons que P et Q sont des polynômes non nuls tels que QA = P B. On a
P = P (AU + BV ) = P AU + P BV = P AU + QAV = A(P U + QV ), donc deg P deg A.
Puisque deg A + deg Q = deg B + deg P , il s’ensuit deg Q deg B .
Ce raisonnement montre que les polynômes A et B ont une racine commune dans
C si et seulement s’il existe des polynômes non nuls P et Q tels que QA = P B,
deg P < deg A et deg Q < deg B.
Posons A = a p z
p + a p−1 z
p−1 + · · · + a 1 z + a 0 et B = b q z
q + b q−1 z
q−1 + · · · + b 1 z + b 0 ,
où les coefficients a p et b q sont différents de 0.
Un polynôme Q de degré strictement inférieur à q est une somme de monômes β i z
i
où 0iq−1, donc QA=
q−1
i=0 β i z
i A. De même, si degP
p−1
j=0 γ j z
j B.
Les polynômes QA et P B sont de degré inférieur ou égal à p + q − 1.
À tout polynôme T = t 0 + t 1 z + · · ·+ t p+q−1 z
p+q−1 , associons le vecteur des coefficients
v(T ) = (t 0 , t 1 , . . . , t p+q−1 ). On a donc v(T ) ∈ C
p+q .
Écrivons en ligne les vecteurs associés aux polynômes A, zA, . . . , z
q−1 A :
v(A) : a 0 a 1 a 2 · · · a p 0 0 · · · 0
v(zA) : 0 a 0 a 1 · · · a p−1 a p 0 · · · 0
· · ·
· · ·
v(z
q−1 A) : 0 · · · 0 a 0 a 1 a 2 · · · a p−1 a p
Dans cette disposition, les coefficients de A sont décalés d’un rang à chaque ligne ;
il y a q lignes et p + q colonnes.
154 – D ´
ETERMINANTS
On a parfois besoin de savoir si deux polynômes ont une racine complexe commune.
Nous allons voir que les déterminants permettent d’exprimer cette propriété par une
relation entre les coefficients des polynômes : cela est utile, car on ne sait pas, en
général, calculer les racines des polynômes.
Soient A et B des polynômes non constants à coefficients réels ou complexes.
® Supposons que A et B ont une racine commune a ∈ C. On a donc A = (z − a)P et
B=(z−a)Q, où P et Q sont des polynômes. Il vient QA−P B=Q(z−a)P −P (z−a)Q=0,
donc QA = P B, avec deg P = (deg A) − 1 et deg Q = (deg B) − 1.
® Supposons que A et B n’ont pas de racine commune, c’est-à-dire sont étrangers.
D’après la proposition page 50, il existe des polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
Supposons que P et Q sont des polynômes non nuls tels que QA = P B. On a
P = P (AU + BV ) = P AU + P BV = P AU + QAV = A(P U + QV ), donc deg P deg A.
Puisque deg A + deg Q = deg B + deg P , il s’ensuit deg Q deg B .
Ce raisonnement montre que les polynômes A et B ont une racine commune dans
C si et seulement s’il existe des polynômes non nuls P et Q tels que QA = P B,
deg P < deg A et deg Q < deg B.
Posons A = a p z
p + a p−1 z
p−1 + · · · + a 1 z + a 0 et B = b q z
q + b q−1 z
q−1 + · · · + b 1 z + b 0 ,
où les coefficients a p et b q sont différents de 0.
Un polynôme Q de degré strictement inférieur à q est une somme de monômes β i z
i
où 0iq−1, donc QA=
q−1
i=0 β i z
i A. De même, si degP
j=0 γ j z
j B.
Les polynômes QA et P B sont de degré inférieur ou égal à p + q − 1.
À tout polynôme T = t 0 + t 1 z + · · ·+ t p+q−1 z
p+q−1 , associons le vecteur des coefficients
v(T ) = (t 0 , t 1 , . . . , t p+q−1 ). On a donc v(T ) ∈ C
p+q .
Écrivons en ligne les vecteurs associés aux polynômes A, zA, . . . , z
q−1 A :
v(A) : a 0 a 1 a 2 · · · a p 0 0 · · · 0
v(zA) : 0 a 0 a 1 · · · a p−1 a p 0 · · · 0
· · ·
· · ·
v(z
q−1 A) : 0 · · · 0 a 0 a 1 a 2 · · · a p−1 a p
Dans cette disposition, les coefficients de A sont décalés d’un rang à chaque ligne ;
il y a q lignes et p + q colonnes.
154 – D ´
ETERMINANTS