2.6 Applications des déterminants
Caractérisation des bases de K p
Des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u p de K
p forment une base de K
p si et seulement s’ils sont
indépendants (propriété 2, page 120), c’est-à-dire si et seulement si la matrice de
colonnes u 1 , . . . , u p est inversible. On a donc l’équivalence suivante.
Des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u p forment est une base de K
p si et seulement si det(u 1 ,u 2 ,. . .,u p ) =0.
Équation d'un hyperplan
Soit H l’hyperplan de K
p engendré par les p−1 vecteurs indépendants u 1 ,u 2 ,. . .,u p−1 .
Cela veut dire qu’un vecteur X appartient à H si et seulement s’il est combinaison
linéaire des u i . D’après le théorème page 105, cette condition signifie que les vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u p−1 , X ne sont pas indépendants. On a donc l’équivalence :
X ∈ H ⇐⇒ det(u 1 , u 2 , . . . , u p−1 , X) = 0
Il suffit de poser X = (x 1 , . . . , x p ) et de développer le déterminant pour avoir
l’équation de H sous la forme a 1 x 1 + · · · + a p x p = 0.
Équation d'un plan affine de R 3 . Soient A, B, C trois points de R
3 non alignés et soit P le plan affine passant par A, B et C . Un point M appartient à P si
et seulement si le vecteur
− − − − − − − →
CM est combinaison linéaire des vecteurs indépendants
− − − − − →
AB et
− − − − − →
BC . En notant (a 1 , a 2 , a 3 ) les coordonnées de A et (b 1 , b 2 , b 3 ) celles de B,
une équation de P est donc
b 1 −a 1 c 1 −b 1 x−c 1
b 2 −a 2 c 2 −b 2 y−c 2
b 3 −a 3 c 3 −b 3 z−c 3
= 0
Estimation du rang d'une matrice
Soit A une matrice à p lignes et n colonnes. Supposons que r est un entier inférieur ou égal à p et n et que la matrice U formée des r premières lignes et des r
premières colonnes de A a son déterminant non nul :
A =
U ∗
∗ ∗
et det U = 0.
Par hypothèse, il n’y a aucune relation linéaire entre les colonnes de U , donc a fortiori
il n’y en a aucune entre les r premières colonnes de A. Les r premières colonnes
de A sont donc indépendantes et par suite, on a rg A r.
Plus généralement, si en sélectionnant r lignes et r colonnes de A, on peut former
une matrice de déterminant non nul, alors le rang de A est supérieur ou égal à r.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 153
Caractérisation des bases de K p
Des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u p de K
p forment une base de K
p si et seulement s’ils sont
indépendants (propriété 2, page 120), c’est-à-dire si et seulement si la matrice de
colonnes u 1 , . . . , u p est inversible. On a donc l’équivalence suivante.
Des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u p forment est une base de K
p si et seulement si det(u 1 ,u 2 ,. . .,u p ) =0.
Équation d'un hyperplan
Soit H l’hyperplan de K
p engendré par les p−1 vecteurs indépendants u 1 ,u 2 ,. . .,u p−1 .
Cela veut dire qu’un vecteur X appartient à H si et seulement s’il est combinaison
linéaire des u i . D’après le théorème page 105, cette condition signifie que les vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u p−1 , X ne sont pas indépendants. On a donc l’équivalence :
X ∈ H ⇐⇒ det(u 1 , u 2 , . . . , u p−1 , X) = 0
Il suffit de poser X = (x 1 , . . . , x p ) et de développer le déterminant pour avoir
l’équation de H sous la forme a 1 x 1 + · · · + a p x p = 0.
Équation d'un plan affine de R 3 . Soient A, B, C trois points de R
3 non alignés et soit P le plan affine passant par A, B et C . Un point M appartient à P si
et seulement si le vecteur
− − − − − − − →
CM est combinaison linéaire des vecteurs indépendants
− − − − − →
AB et
− − − − − →
BC . En notant (a 1 , a 2 , a 3 ) les coordonnées de A et (b 1 , b 2 , b 3 ) celles de B,
une équation de P est donc
b 1 −a 1 c 1 −b 1 x−c 1
b 2 −a 2 c 2 −b 2 y−c 2
b 3 −a 3 c 3 −b 3 z−c 3
= 0
Estimation du rang d'une matrice
Soit A une matrice à p lignes et n colonnes. Supposons que r est un entier inférieur ou égal à p et n et que la matrice U formée des r premières lignes et des r
premières colonnes de A a son déterminant non nul :
A =
U ∗
∗ ∗
et det U = 0.
Par hypothèse, il n’y a aucune relation linéaire entre les colonnes de U , donc a fortiori
il n’y en a aucune entre les r premières colonnes de A. Les r premières colonnes
de A sont donc indépendantes et par suite, on a rg A r.
Plus généralement, si en sélectionnant r lignes et r colonnes de A, on peut former
une matrice de déterminant non nul, alors le rang de A est supérieur ou égal à r.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 153