En développant selon la première colonne, il vient d = −x
−x 1 − 1
2
0 4−x −2
−x −1 1
2
−x
. Dans le
déterminant de taille 3, soustrayons la première ligne de la troisième :
d = −x
−x 1 − 1
2
0 4−x −2
0 −2 1−x
Développons selon la première colonne :
d = (−x)(−x)
4−x −2
−2 1−x
= x
2
(4 − x)(1 − x) − (−2)(−2)
= x
2 (x
2
− x) = x
3 (x − 1) .
Proposition
i) Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux.
ii) Si A et B sont des matrices carrées de taille n et p, une matrice carrée de taille n + p
de la forme
⎡
⎣
A
C
0
B
⎤
⎦ a pour déterminant (det A)(det B).
Démonstration. Si A = [a ij ] est une matrice triangulaire inférieure, le développement selon
la première ligne est det M = a 11 Δ 11 , et Δ 11 est un déterminant triangulaire inférieur ayant
pour coefficients diagonaux a 22 , . . . , a nn . On en déduit (i) en raisonnant par récurrence.
Soit B∈M p (K) et C ∈M n,p (K). Pour toute matrice M ∈M n (K), posons f (M )=
M
C
0
B
.
La fonction f possède les propriétés 1, 2 et 3 (par rapport aux colonnes de M ). De plus, en
développant le déterminant
I n
C
0
B
selon la première colonne, il vient f (I n ) = det B .
D’après la proposition page 148, on en déduit f (M ) = f (I n ) det M = (det B)(det M ) pour
tout M . D’où le résultat en choisissant M = A.
2.5 Polynôme caractéristique d'une matrice carrée
Définition
Soit A une matrice carrée de taille n. Pour tout nombre z ∈ K, on pose C A (z) =
det(A − zI n ). La fonction z → C A (z) est un polynôme de degré n, appelé polynôme
caractéristique de A.
Exemple. Si A =
a b
c d
, alors det(A − zI 2 ) =
a − z b
c d− z
= (a − z)(d − z) − bc
et il vient C A (z) = z
2
− (a + d)z + (ad − bc).
® Le polynôme caractéristique est de degré n et son terme constant est C A (0) = detA.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 151
−x 1 − 1
2
0 4−x −2
−x −1 1
2
−x
. Dans le
déterminant de taille 3, soustrayons la première ligne de la troisième :
d = −x
−x 1 − 1
2
0 4−x −2
0 −2 1−x
Développons selon la première colonne :
d = (−x)(−x)
4−x −2
−2 1−x
= x
2
(4 − x)(1 − x) − (−2)(−2)
= x
2 (x
2
− x) = x
3 (x − 1) .
Proposition
i) Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux.
ii) Si A et B sont des matrices carrées de taille n et p, une matrice carrée de taille n + p
de la forme
⎡
⎣
A
C
0
B
⎤
⎦ a pour déterminant (det A)(det B).
Démonstration. Si A = [a ij ] est une matrice triangulaire inférieure, le développement selon
la première ligne est det M = a 11 Δ 11 , et Δ 11 est un déterminant triangulaire inférieur ayant
pour coefficients diagonaux a 22 , . . . , a nn . On en déduit (i) en raisonnant par récurrence.
Soit B∈M p (K) et C ∈M n,p (K). Pour toute matrice M ∈M n (K), posons f (M )=
M
C
0
B
.
La fonction f possède les propriétés 1, 2 et 3 (par rapport aux colonnes de M ). De plus, en
développant le déterminant
I n
C
0
B
selon la première colonne, il vient f (I n ) = det B .
D’après la proposition page 148, on en déduit f (M ) = f (I n ) det M = (det B)(det M ) pour
tout M . D’où le résultat en choisissant M = A.
2.5 Polynôme caractéristique d'une matrice carrée
Définition
Soit A une matrice carrée de taille n. Pour tout nombre z ∈ K, on pose C A (z) =
det(A − zI n ). La fonction z → C A (z) est un polynôme de degré n, appelé polynôme
caractéristique de A.
Exemple. Si A =
a b
c d
, alors det(A − zI 2 ) =
a − z b
c d− z
= (a − z)(d − z) − bc
et il vient C A (z) = z
2
− (a + d)z + (ad − bc).
® Le polynôme caractéristique est de degré n et son terme constant est C A (0) = detA.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 151