Puisque transposer la matrice ne change pas le déterminant, on peut aussi développer
selon une colonne j , avec la formule
det[a ij ] = (−1)
1+j a 1j Δ 1j + (−1)
2+j a 2j Δ 2j + · · · + (−1)
n+j a nj Δ nj .
Les signes qu’il faut affecter aux coefficients le long de la ligne ou de la colonne
choisie pour développer sont donnés par le tableau :
+ − + − · · ·
− + − + · · ·
+ − + − · · ·
. . .
. . .
. . .
. . .
Le premier signe en haut à gauche est + et l’on garnit le tableau en changeant de
signe chaque fois qu’on passe à la colonne ou à la ligne suivante.
2.4 Calcul d'un déterminant
Le déterminant garde la même valeur si l’on ajoute à un vecteur-colonne, ou à un
vecteur-ligne, une combinaison linéaire des autres. Par cette opération, on peut faire
apparaître des zéros sur une même ligne ou sur une même colonne, comme lorsqu’on
échelonne des vecteurs. Quand on a obtenu une ligne ou une colonne contenant peu
de coefficients non nuls, on peut raisonnablement développer le déterminant selon
cette ligne ou cette colonne.
Exemple. Calculons le déterminant d =
2−x 1
2
−1
1 1
2
−x 1 − 1
2
2
1 2−x −1
−1 − 1
2
−1 1
2
−x
.
Soustrayons la troisième colonne à la première, puis ajoutons la quatrième à la seconde :
d =
−x 1
2
−1
0 1
2
−x 1 − 1
2
x 1 2−x −1
0 − 1
2
−1 1
2
−x
=
−x 0 2
−1
0 −x 1 − 1
2
x 0 2−x −1
0 −x −1 1
2
−x
Ajoutons la première ligne à la troisième :
d =
−x 0 2
−1
0 −x 1 − 1
2
0 0 4−x −2
0 −x −1 1
2
−x
150 – D ´
ETERMINANTS