donc g(M ) = det(
t M ) et dans ce cas, on a bien f (M ) = ag(M ) = a det(
t M ). Si a = 0, alors
la fonction f est nulle et l’on a encore f (M ) = a det(
t M ) pour tout M .
On en déduit de nouvelles et importantes propriétés du déterminant.
Proposition. Pour toutes matrices carrées de taille n, on a det(
t A) = det A et
det(AB) = (det A)(det B).
Démonstration. Pour toute matrice M ∈M n (K), posons f (M )=det(AM ). Par définition du
produit de matrices, on a f (M ) = det(AM 1 ,. . .,AM n ), où M 1 ,. . .,M n sont les vecteurs-colonne
de M et cela montre que f possède les propriétés 1, 2 et 3. Puisque f (I n )=det(AI n )=detA, on
déduit de la précédente proposition que l’on a det(AM )=f (M )=(detA)(det
t M ) pour tout M .
En particulier, pour A=I n , il vient detM =(detI n )(det
t M )=det
t M , ce qui est la première propriété. On en déduit alors l’égalité det(AM )=(detA)(det
t M )=(detA)(detM ), pour tout M .
Montrons que le déterminant permet de caractériser les matrices inversibles.
Proposition. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est
non nul. Si A est une matrice inversible, alors det(A
−1 ) = 1
det A
·
Démonstration. Soit A ∈ M n (K). Si A est inversible, alors (det A)(det A
−1 ) = det(AA
−1 ) =
det I n = 1, donc le nombre det A n’est pas nul et det(A
−1 ) est l’inverse de det A. Supposons que la matrice A n’est pas inversible. Alors rg A est strictement inférieur à n, donc les
vecteurs-colonne de A ne sont pas indépendants (proposition page 138 et théorème page 137).
Il s’ensuit qu’au moins l’un des vecteurs-colonne est combinaison linéaire des autres, donc le
déterminant de A est nul, d’après la propriété 5.
Exemple. La matrice
1 2 −1
2 −1 x
−1 x 1
de l’exemple page 145 est inversible si et
seulement si x = −2.
Développement selon une ligne ou une colonne
Le déterminant a été défini par son développement selon la première ligne. Mais échangeons par exemple la première et la deuxième ligne dans la matrice A=
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
.
On obtient A
=
a 21 a 22 a 23
a 11 a 12 a 13
a 31 a 32 a 33
et en développant le déterminant de A
selon la première ligne, il vient det A
= a 21 Δ 21 − a 22 Δ 22 + a 23 Δ 23 , où les Δ ij sont les cofacteurs
pour la matrice A. Puisque det A = − det A
, on a le développement
det A = −a 21 Δ 21 + a 22 Δ 22 − a 23 Δ 23 .
Plus généralement, on peut développer un déterminant selon une ligne i quelconque,
par la formule
det[a ij ] = (−1)
i+1 a i1 Δ i1 + (−1)
i+2 a i2 Δ i2 + · · · + (−1)
i+n a in Δ in .
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 149
t M ) et dans ce cas, on a bien f (M ) = ag(M ) = a det(
t M ). Si a = 0, alors
la fonction f est nulle et l’on a encore f (M ) = a det(
t M ) pour tout M .
On en déduit de nouvelles et importantes propriétés du déterminant.
Proposition. Pour toutes matrices carrées de taille n, on a det(
t A) = det A et
det(AB) = (det A)(det B).
Démonstration. Pour toute matrice M ∈M n (K), posons f (M )=det(AM ). Par définition du
produit de matrices, on a f (M ) = det(AM 1 ,. . .,AM n ), où M 1 ,. . .,M n sont les vecteurs-colonne
de M et cela montre que f possède les propriétés 1, 2 et 3. Puisque f (I n )=det(AI n )=detA, on
déduit de la précédente proposition que l’on a det(AM )=f (M )=(detA)(det
t M ) pour tout M .
En particulier, pour A=I n , il vient detM =(detI n )(det
t M )=det
t M , ce qui est la première propriété. On en déduit alors l’égalité det(AM )=(detA)(det
t M )=(detA)(detM ), pour tout M .
Montrons que le déterminant permet de caractériser les matrices inversibles.
Proposition. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est
non nul. Si A est une matrice inversible, alors det(A
−1 ) = 1
det A
·
Démonstration. Soit A ∈ M n (K). Si A est inversible, alors (det A)(det A
−1 ) = det(AA
−1 ) =
det I n = 1, donc le nombre det A n’est pas nul et det(A
−1 ) est l’inverse de det A. Supposons que la matrice A n’est pas inversible. Alors rg A est strictement inférieur à n, donc les
vecteurs-colonne de A ne sont pas indépendants (proposition page 138 et théorème page 137).
Il s’ensuit qu’au moins l’un des vecteurs-colonne est combinaison linéaire des autres, donc le
déterminant de A est nul, d’après la propriété 5.
Exemple. La matrice
1 2 −1
2 −1 x
−1 x 1
de l’exemple page 145 est inversible si et
seulement si x = −2.
Développement selon une ligne ou une colonne
Le déterminant a été défini par son développement selon la première ligne. Mais échangeons par exemple la première et la deuxième ligne dans la matrice A=
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
.
On obtient A
=
a 21 a 22 a 23
a 11 a 12 a 13
a 31 a 32 a 33
et en développant le déterminant de A
selon la première ligne, il vient det A
= a 21 Δ 21 − a 22 Δ 22 + a 23 Δ 23 , où les Δ ij sont les cofacteurs
pour la matrice A. Puisque det A = − det A
, on a le développement
det A = −a 21 Δ 21 + a 22 Δ 22 − a 23 Δ 23 .
Plus généralement, on peut développer un déterminant selon une ligne i quelconque,
par la formule
det[a ij ] = (−1)
i+1 a i1 Δ i1 + (−1)
i+2 a i2 Δ i2 + · · · + (−1)
i+n a in Δ in .
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 149