Développons par rapport à la première ligne : il vient det A = (−1)
1+m a 1m Δ 1m et dans le
déterminant Δ 1m , la ligne numéro k−1 est nulle (elle est en position k dans A). Nous avons
remarqué ci-dessus que cela implique Δ 1m = 0, donc det A = 0.
Comme pour les colonnes, on en déduit les propriétés suivantes.
Propriété 3'*. Si une ligne est nulle, le déterminant est nul.
Propriété 4'. Si l’on permute deux lignes de la matrice, le déterminant est changé
de signe.
Propriété 5'. Si l’on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres, le
déterminant garde la même valeur.
2.3 Les théorèmes fondamentaux
Proposition. Si f est une fonction de M n (K) dans K possédant les propriétés 1, 2 et
3, alors pour toute matrice M ∈ M n (K), on a f (M ) = f (I n ) det(
t M ).
Justification. Expliquons cela pour n = 3. Supposons que f : M 3 (K) → K est une fonction
possédant les propriétés 1, 2 et 3, donc aussi la propriété 4. Pour j = 1,2,3, notons (a 1j ,a 2j ,a 3j )
les coordonnées du vecteur-colonne A j de la matrice A. On a A j = a 1j E 1 + a 2j E 2 + a 3j E 3 ,
où les E i sont les vecteurs canoniques de K
3 . D’après la propriété 2, il vient
f (E 1 , A 2 , A 3 ) = f (E 1 , A 2 , a 13 E 1 ) + f (E 1 , A 2 , a 23 E 2 ) + f (E 1 , A 2 , a 33 E 3 )
= a 13 f (E 1 , A 2 , E 1 ) + a 23 f (E 1 , A 2 , E 2 ) + a 33 f (E 1 , A 2 , E 3 ), grâce à 3,
= a 23 f (E 1 , A 2 , E 2 ) + a 33 f (E 1 , A 2 , E 3 ), car f (E 1 , A 2 , E 1 ) = 0.
f (E 1 , A 2 , E 2 ) = a 12 f (E 1 , E 1 , E 2 ) + a 22 f (E 1 , E 2 , E 2 ) + a 32 f (E 1 , E 3 , E 2 )
= a 32 f (E 1 , E 3 , E 2 ) = −a 32 f (E 1 , E 2 , E 3 ), d’après 1 et 4.
De même, on a f (E 1 , A 2 , E 3 ) = a 22 f (E 1 , E 2 , E 3 ) d’où
f (E 1 , A 2 , A 3 ) = (−a 23 a 32 + a 33 a 22 )f (E 1 , E 2 , E 3 ) .
On obtient de la même manière
f (E 2 , A 2 , A 3 ) = (−a 12 a 33 + a 13 a 32 )f (E 1 , E 2 , E 3 )
f (E 3 , A 2 , A 3 ) = (a 12 a 23 − a 13 a 22 )f (E 1 , E 2 , E 3 )
et il vient
f (A 1 , A 2 , A 3 ) = f (a 11 E 1 + a 21 E 2 + a 31 E 3 , A 2 , A 3 )
= a 11 f (E 1 , A 2 , A 3 ) + a 21 f (E 2 , A 2 , A 3 ) + a 31 f (E 3 , A 2 , A 3 ) , d’où
f (A 1 ,A 2 ,A 3 )=
a 11 (a 33 a 22 −a 23 a 32 )−a 21 (a 12 a 33 −a 13 a 32 )+a 31 (a 12 a 23 −a 13 a 22 )
f (E 1 ,E 2 ,E 3 ).
Le crochet est égal à
a 11
a 22 a 32
a 23 a 33
− a 21
a 12 a 32
a 13 a 33
+ a 31
a 12 a 22
a 13 a 23
=
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
= det(
t M )
par définition du développement de
t M selon sa première ligne.
La fonction f est donc parfaitement déterminée par le nombre f (E 1 ,E 2 ,E 3 ) = f (I 3 ). Si l’on a
f (I 3 ) = 1, alors f (M ) = det(
t M ) quelle que soit M . Dans le cas général, posons a = f (I 3 ). Si
a =0, alors la fonction g:M →(1/a)f (M ) possède les propriétés 1, 2 et 3 et g(I 3 )=(1/a)f (I 3 )=1,
148 – D ´
ETERMINANTS
1+m a 1m Δ 1m et dans le
déterminant Δ 1m , la ligne numéro k−1 est nulle (elle est en position k dans A). Nous avons
remarqué ci-dessus que cela implique Δ 1m = 0, donc det A = 0.
Comme pour les colonnes, on en déduit les propriétés suivantes.
Propriété 3'*. Si une ligne est nulle, le déterminant est nul.
Propriété 4'. Si l’on permute deux lignes de la matrice, le déterminant est changé
de signe.
Propriété 5'. Si l’on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres, le
déterminant garde la même valeur.
2.3 Les théorèmes fondamentaux
Proposition. Si f est une fonction de M n (K) dans K possédant les propriétés 1, 2 et
3, alors pour toute matrice M ∈ M n (K), on a f (M ) = f (I n ) det(
t M ).
Justification. Expliquons cela pour n = 3. Supposons que f : M 3 (K) → K est une fonction
possédant les propriétés 1, 2 et 3, donc aussi la propriété 4. Pour j = 1,2,3, notons (a 1j ,a 2j ,a 3j )
les coordonnées du vecteur-colonne A j de la matrice A. On a A j = a 1j E 1 + a 2j E 2 + a 3j E 3 ,
où les E i sont les vecteurs canoniques de K
3 . D’après la propriété 2, il vient
f (E 1 , A 2 , A 3 ) = f (E 1 , A 2 , a 13 E 1 ) + f (E 1 , A 2 , a 23 E 2 ) + f (E 1 , A 2 , a 33 E 3 )
= a 13 f (E 1 , A 2 , E 1 ) + a 23 f (E 1 , A 2 , E 2 ) + a 33 f (E 1 , A 2 , E 3 ), grâce à 3,
= a 23 f (E 1 , A 2 , E 2 ) + a 33 f (E 1 , A 2 , E 3 ), car f (E 1 , A 2 , E 1 ) = 0.
f (E 1 , A 2 , E 2 ) = a 12 f (E 1 , E 1 , E 2 ) + a 22 f (E 1 , E 2 , E 2 ) + a 32 f (E 1 , E 3 , E 2 )
= a 32 f (E 1 , E 3 , E 2 ) = −a 32 f (E 1 , E 2 , E 3 ), d’après 1 et 4.
De même, on a f (E 1 , A 2 , E 3 ) = a 22 f (E 1 , E 2 , E 3 ) d’où
f (E 1 , A 2 , A 3 ) = (−a 23 a 32 + a 33 a 22 )f (E 1 , E 2 , E 3 ) .
On obtient de la même manière
f (E 2 , A 2 , A 3 ) = (−a 12 a 33 + a 13 a 32 )f (E 1 , E 2 , E 3 )
f (E 3 , A 2 , A 3 ) = (a 12 a 23 − a 13 a 22 )f (E 1 , E 2 , E 3 )
et il vient
f (A 1 , A 2 , A 3 ) = f (a 11 E 1 + a 21 E 2 + a 31 E 3 , A 2 , A 3 )
= a 11 f (E 1 , A 2 , A 3 ) + a 21 f (E 2 , A 2 , A 3 ) + a 31 f (E 3 , A 2 , A 3 ) , d’où
f (A 1 ,A 2 ,A 3 )=
a 11 (a 33 a 22 −a 23 a 32 )−a 21 (a 12 a 33 −a 13 a 32 )+a 31 (a 12 a 23 −a 13 a 22 )
f (E 1 ,E 2 ,E 3 ).
Le crochet est égal à
a 11
a 22 a 32
a 23 a 33
− a 21
a 12 a 32
a 13 a 33
+ a 31
a 12 a 22
a 13 a 23
=
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
= det(
t M )
par définition du développement de
t M selon sa première ligne.
La fonction f est donc parfaitement déterminée par le nombre f (E 1 ,E 2 ,E 3 ) = f (I 3 ). Si l’on a
f (I 3 ) = 1, alors f (M ) = det(
t M ) quelle que soit M . Dans le cas général, posons a = f (I 3 ). Si
a =0, alors la fonction g:M →(1/a)f (M ) possède les propriétés 1, 2 et 3 et g(I 3 )=(1/a)f (I 3 )=1,
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ETERMINANTS