® Si l’on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres, le déterminant
garde la même valeur.
En effet, si U = λ 2 A 2 + · · · + λ n A n est une combinaison linéaire de A 2 , . . . , A n , on a
det(U, A 2 , . . . , A n ) = λ 2 det(A 2 , A 2 , . . . , A n ) + · · · + λ n det(A n , A 2 , . . . , A n−1 , A n ) = 0
car au second membre, chaque déterminant a deux colonnes égales. On en déduit
det(A 1 +U,A 2 ,. . .,A n ) = det(A 1 ,A 2 ,. . .,A n )+det(U,A 2 ,. . .,A n ) = det(A 1 ,A 2 ,. . .,A n ).
Propriétés relatives aux lignes
Nous allons montrer que le déterminant possède, par rapport aux lignes, les mêmes
propriétés que ci-dessus.
Propriété 1'. Si deux lignes de la matrice sont égales, alors le déterminant est nul.
Propriété 2'. Le déterminant est additif par rapport à chaque vecteur-ligne.
Propriété 3'. Si l’on multiplie une ligne par λ, le déterminant est multiplié par λ.
Démonstration. On vérifie immédiatement que ces propriétés sont vraies pour un déterminant de taille 2. Raisonnons par récurrence sur la taille du déterminant. Supposons que
les propriétés 1', 2' et 3' sont vraies pour les déterminants de taille n−1 et considérons une
matrice A de taille n, de vecteurs-lignes L 1 , L 2 , . . . , L n .
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
L 2
. . .
L n
⎤
⎥
⎥
⎦
Si l’on multiplie la première ligne par λ, alors dans le développement selon la première ligne
det A = a 11 Δ 11 − a 12 Δ 12 + · · · + (−1)
1+j Δ 1j + · · · + (−1)
1+n Δ 1n ,
les Δ 1j sont inchangés, donc le déterminant est multiplié par λ. Si l’on multiplie une autre
ligne par λ, alors dans chaque Δ 1j une ligne est multiplié par λ, donc Δ 1j est multiplié par λ
par hypothèse de récurrence : le déterminant de A est donc aussi multiplié par λ. En raisonnant
comme pour les colonnes, il s’ensuit que si une ligne est nulle, alors le déterminant est nul.
De même, il est clair que le déterminant est additif par rapport à la première ligne ; par hypothèse
de récurrence, les Δ 1j sont additifs par rapport aux lignes, donc aussi le déterminant de A.
Si deux lignes sont égales parmi les lignes numéro 2, 3, . . . , n, alors chaque Δ 1j possède deux
lignes égales, donc est nul : il s’ensuit que le déterminant de A est nul. Supposons maintenant
que la ligne L 1 est égale à la ligne L k , où k 2. Si cette ligne est nulle, le déterminant est
nul d’après le développement selon la première ligne. Supposons que dans la ligne L 1 = L k ,
le premier coefficient non nul est a 1m , donc
L 1 = [ 0 · · · 0 a 1m · · · a 1n ] = L k .
Pour tout j m + 1, remplaçons la colonne A j par la combinaison A
j = A j − (a 1j /a 1m )A m ,
ce qui ne change pas le déterminant d’après la propriété 5. Sur les lignes 1 et k, le coefficient
de A
j est a 1j − (a 1j /a 1m )a 1m = 0, donc
det A = det(A 1 , . . . , A m , A
m+1 , . . . , A
n ) =
0 · · · 0 a 1m 0 · · · 0
∗
0 · · · 0 a 1m 0 · · · 0
∗
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 147
garde la même valeur.
En effet, si U = λ 2 A 2 + · · · + λ n A n est une combinaison linéaire de A 2 , . . . , A n , on a
det(U, A 2 , . . . , A n ) = λ 2 det(A 2 , A 2 , . . . , A n ) + · · · + λ n det(A n , A 2 , . . . , A n−1 , A n ) = 0
car au second membre, chaque déterminant a deux colonnes égales. On en déduit
det(A 1 +U,A 2 ,. . .,A n ) = det(A 1 ,A 2 ,. . .,A n )+det(U,A 2 ,. . .,A n ) = det(A 1 ,A 2 ,. . .,A n ).
Propriétés relatives aux lignes
Nous allons montrer que le déterminant possède, par rapport aux lignes, les mêmes
propriétés que ci-dessus.
Propriété 1'. Si deux lignes de la matrice sont égales, alors le déterminant est nul.
Propriété 2'. Le déterminant est additif par rapport à chaque vecteur-ligne.
Propriété 3'. Si l’on multiplie une ligne par λ, le déterminant est multiplié par λ.
Démonstration. On vérifie immédiatement que ces propriétés sont vraies pour un déterminant de taille 2. Raisonnons par récurrence sur la taille du déterminant. Supposons que
les propriétés 1', 2' et 3' sont vraies pour les déterminants de taille n−1 et considérons une
matrice A de taille n, de vecteurs-lignes L 1 , L 2 , . . . , L n .
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
L 2
. . .
L n
⎤
⎥
⎥
⎦
Si l’on multiplie la première ligne par λ, alors dans le développement selon la première ligne
det A = a 11 Δ 11 − a 12 Δ 12 + · · · + (−1)
1+j Δ 1j + · · · + (−1)
1+n Δ 1n ,
les Δ 1j sont inchangés, donc le déterminant est multiplié par λ. Si l’on multiplie une autre
ligne par λ, alors dans chaque Δ 1j une ligne est multiplié par λ, donc Δ 1j est multiplié par λ
par hypothèse de récurrence : le déterminant de A est donc aussi multiplié par λ. En raisonnant
comme pour les colonnes, il s’ensuit que si une ligne est nulle, alors le déterminant est nul.
De même, il est clair que le déterminant est additif par rapport à la première ligne ; par hypothèse
de récurrence, les Δ 1j sont additifs par rapport aux lignes, donc aussi le déterminant de A.
Si deux lignes sont égales parmi les lignes numéro 2, 3, . . . , n, alors chaque Δ 1j possède deux
lignes égales, donc est nul : il s’ensuit que le déterminant de A est nul. Supposons maintenant
que la ligne L 1 est égale à la ligne L k , où k 2. Si cette ligne est nulle, le déterminant est
nul d’après le développement selon la première ligne. Supposons que dans la ligne L 1 = L k ,
le premier coefficient non nul est a 1m , donc
L 1 = [ 0 · · · 0 a 1m · · · a 1n ] = L k .
Pour tout j m + 1, remplaçons la colonne A j par la combinaison A
j = A j − (a 1j /a 1m )A m ,
ce qui ne change pas le déterminant d’après la propriété 5. Sur les lignes 1 et k, le coefficient
de A
j est a 1j − (a 1j /a 1m )a 1m = 0, donc
det A = det(A 1 , . . . , A m , A
m+1 , . . . , A
n ) =
0 · · · 0 a 1m 0 · · · 0
∗
0 · · · 0 a 1m 0 · · · 0
∗
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 147