® Pour la matrice A =
a b
c d
, on a Δ 11 = d, Δ 12 = c, Δ 21 = b et Δ 22 = a.
® Pour une matrice A = [A ij ] de taille 3, on a Δ 11 =
a 22 a 23
a 32 a 33
, Δ 12 =
a 21 a 23
a 31 a 33
et
Δ 13 =
a 21 a 22
a 31 a 32
. Par définition du déterminant de A, il vient donc
det A = a 11 Δ 11 − a 12 Δ 12 + a 13 Δ 13 .
Définition
Le déterminant d’une matrice carrée A = [a ij ] de taille n est le nombre
det A = a 11 Δ 11 − a 12 Δ 12 + · · · + (−1)
1+j a 1j Δ 1j + · · · + (−1)
1+n a 1n Δ 1n .
Cette expression s’appelle le développement du déterminant selon la première ligne.
Propriétés relatives aux colonnes
En raisonnant par récurrence sur la taille du déterminant, on démontre en utilisant
la définition que det I n = 1 et qu’un déterminant de taille n possède encore les trois
propriétés précédentes. Formulons ces propriétés dans ce cadre général, en notant
A 1 , A 2 , . . . , A n les colonnes de la matrice.
Propriété 1. Si deux colonnes de la matrice sont égales, alors le déterminant est nul.
Propriété 2. Le déterminant est additif par rapport à chaque vecteur-colonne :
det(A 1 , . . . , A j +A
j , . . . , A n ) = det(A 1 , . . . , A j , . . . , A n ) + det(A 1 , . . . , A
j , . . . , A n ) .
Propriété 3. Si l’on multiplie une colonne par λ, le déterminant est multiplié par λ :
det(A 1 , . . . , λA j , . . . , A n ) = λ det(A 1 , . . . , A j , . . . , A n ) .
Voici une conséquence de la propriété 3 :
Propriété 3*. Si une colonne est nulle, le déterminant est nul.
En effet, si l’on multiplie une colonne nulle par 0, elle ne change pas, mais le
déterminant est multiplié par 0.
On en déduit aussi les propriétés suivantes.
Propriété 4. Si l’on permute deux colonnes de la matrice, le déterminant est changé
de signe.
Considérons le déterminant d = det(A 1 +A 2 ,A 1 +A 2 ,A 3 ,. . .,A n ). Puisque les deux premières colonnes sont égales, on a d = 0 (propriété 1). En utilisant la propriété 2, il vient
d = det(A 1 , A 1 +A 2 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 1 +A 2 , A 3 , . . . , A n )
= det(A 1 , A 1 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n )
+ det(A 2 , A 1 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 2 , A 3 , . . . , A n )
= 0 + det(A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 1 , A 3 , . . . , A n ) + 0
d’après 1 ,
d’où 0 = det(A 1 , A 2 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 1 , . . . , A n ).
Propriété 5.
® Si une colonne est combinaison linéaire des autres, le déterminant est nul.
146 – D ´
ETERMINANTS
a b
c d
, on a Δ 11 = d, Δ 12 = c, Δ 21 = b et Δ 22 = a.
® Pour une matrice A = [A ij ] de taille 3, on a Δ 11 =
a 22 a 23
a 32 a 33
, Δ 12 =
a 21 a 23
a 31 a 33
et
Δ 13 =
a 21 a 22
a 31 a 32
. Par définition du déterminant de A, il vient donc
det A = a 11 Δ 11 − a 12 Δ 12 + a 13 Δ 13 .
Définition
Le déterminant d’une matrice carrée A = [a ij ] de taille n est le nombre
det A = a 11 Δ 11 − a 12 Δ 12 + · · · + (−1)
1+j a 1j Δ 1j + · · · + (−1)
1+n a 1n Δ 1n .
Cette expression s’appelle le développement du déterminant selon la première ligne.
Propriétés relatives aux colonnes
En raisonnant par récurrence sur la taille du déterminant, on démontre en utilisant
la définition que det I n = 1 et qu’un déterminant de taille n possède encore les trois
propriétés précédentes. Formulons ces propriétés dans ce cadre général, en notant
A 1 , A 2 , . . . , A n les colonnes de la matrice.
Propriété 1. Si deux colonnes de la matrice sont égales, alors le déterminant est nul.
Propriété 2. Le déterminant est additif par rapport à chaque vecteur-colonne :
det(A 1 , . . . , A j +A
j , . . . , A n ) = det(A 1 , . . . , A j , . . . , A n ) + det(A 1 , . . . , A
j , . . . , A n ) .
Propriété 3. Si l’on multiplie une colonne par λ, le déterminant est multiplié par λ :
det(A 1 , . . . , λA j , . . . , A n ) = λ det(A 1 , . . . , A j , . . . , A n ) .
Voici une conséquence de la propriété 3 :
Propriété 3*. Si une colonne est nulle, le déterminant est nul.
En effet, si l’on multiplie une colonne nulle par 0, elle ne change pas, mais le
déterminant est multiplié par 0.
On en déduit aussi les propriétés suivantes.
Propriété 4. Si l’on permute deux colonnes de la matrice, le déterminant est changé
de signe.
Considérons le déterminant d = det(A 1 +A 2 ,A 1 +A 2 ,A 3 ,. . .,A n ). Puisque les deux premières colonnes sont égales, on a d = 0 (propriété 1). En utilisant la propriété 2, il vient
d = det(A 1 , A 1 +A 2 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 1 +A 2 , A 3 , . . . , A n )
= det(A 1 , A 1 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n )
+ det(A 2 , A 1 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 2 , A 3 , . . . , A n )
= 0 + det(A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 1 , A 3 , . . . , A n ) + 0
d’après 1 ,
d’où 0 = det(A 1 , A 2 , . . . , A n ) + det(A 2 , A 1 , . . . , A n ).
Propriété 5.
® Si une colonne est combinaison linéaire des autres, le déterminant est nul.
146 – D ´
ETERMINANTS