Pour avoir le déterminant de taille 2 associé dans la formule à un coefficient c de
la première ligne,
® on supprime dans A la première ligne et la colonne de c
® et l’on prend le déterminant formé des quatre coefficients restants.
Noter l’alternance des signes.
Exemples
® On a
1 2 −1
2 −1 x
−1 x 1
= 1 ×
−1 x
x 1
− 2 ×
2 x
−1 1
− 1 ×
2 −1
−1 x
= (−1 − x
2 ) − 2 × (2 + x) − (2x − 1)
= −1 − x
2
− 4 − 2x − 2x + 1 = −(x
2 + 4x + 4) = −(x + 2)
2 .
® Pour une matrice triangulaire inférieure, il vient
a 0 0
x b 0
y z c
= a
b 0
z c
= abc, produit
des coefficients diagonaux. En particulier, det I 3 = 1.
Les déterminants de taille 3 possèdent encore les propriétés mises en évidence
dans le cas de la taille 2. Notons A 1 , A 2 , A 3 les vecteurs-colonne de la matrice et
det(A 1 , A 2 , A 3 ) le déterminant.
i) Si deux colonnes sont égales, alors le déterminant est nul : par exemple, si
A 1 = A 2 , alors le déterminant
a 21 a 22
a 31 a 32
est nul, on a
a 22 a 23
a 32 a 33
=
a 21 a 23
a 31 a 33
et
comme a 11 = a 12 , il vient det A = 0.
ii) Le déterminant est additif par rapport à chaque vecteur-colonne : cela veut dire
que l’on a det(A 1 + A
1 , A 2 , A 3 ) = det(A 1 , A 2 , A 3 ) + det(A
1 , A 2 , A 3 ) et de même
pour det(A 1 , A 2 + A
2 , A 3 ) et det(A 1 , A 2 , A 3 + A
3 ).
iii) Si l’on multiplie une colonne par un scalaire λ, alors le déterminant est multiplié
par λ : det(λA 1 , A 2 , A 3 ) = det(A 1 , λA 2 , A 3 ) = det(A 1 , A 2 , λA 3 ) = λ det(A 1 , A 2 , A 3 ).
2.2 Déterminant d'une matrice carrée de taille n
On définit le déterminant d’une matrice carrée de taille n au moyen du déterminant
des matrices de taille n−1, comme on l’a fait dans le cas n = 3.
Définition
Soit A une matrice carrée de taille n. Pour tous indices i et j , le cofacteur Δ ij
est le déterminant de taille n−1 obtenu en supprimant la i-ème ligne et la j -ème
colonne de A.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 145
la première ligne,
® on supprime dans A la première ligne et la colonne de c
® et l’on prend le déterminant formé des quatre coefficients restants.
Noter l’alternance des signes.
Exemples
® On a
1 2 −1
2 −1 x
−1 x 1
= 1 ×
−1 x
x 1
− 2 ×
2 x
−1 1
− 1 ×
2 −1
−1 x
= (−1 − x
2 ) − 2 × (2 + x) − (2x − 1)
= −1 − x
2
− 4 − 2x − 2x + 1 = −(x
2 + 4x + 4) = −(x + 2)
2 .
® Pour une matrice triangulaire inférieure, il vient
a 0 0
x b 0
y z c
= a
b 0
z c
= abc, produit
des coefficients diagonaux. En particulier, det I 3 = 1.
Les déterminants de taille 3 possèdent encore les propriétés mises en évidence
dans le cas de la taille 2. Notons A 1 , A 2 , A 3 les vecteurs-colonne de la matrice et
det(A 1 , A 2 , A 3 ) le déterminant.
i) Si deux colonnes sont égales, alors le déterminant est nul : par exemple, si
A 1 = A 2 , alors le déterminant
a 21 a 22
a 31 a 32
est nul, on a
a 22 a 23
a 32 a 33
=
a 21 a 23
a 31 a 33
et
comme a 11 = a 12 , il vient det A = 0.
ii) Le déterminant est additif par rapport à chaque vecteur-colonne : cela veut dire
que l’on a det(A 1 + A
1 , A 2 , A 3 ) = det(A 1 , A 2 , A 3 ) + det(A
1 , A 2 , A 3 ) et de même
pour det(A 1 , A 2 + A
2 , A 3 ) et det(A 1 , A 2 , A 3 + A
3 ).
iii) Si l’on multiplie une colonne par un scalaire λ, alors le déterminant est multiplié
par λ : det(λA 1 , A 2 , A 3 ) = det(A 1 , λA 2 , A 3 ) = det(A 1 , A 2 , λA 3 ) = λ det(A 1 , A 2 , A 3 ).
2.2 Déterminant d'une matrice carrée de taille n
On définit le déterminant d’une matrice carrée de taille n au moyen du déterminant
des matrices de taille n−1, comme on l’a fait dans le cas n = 3.
Définition
Soit A une matrice carrée de taille n. Pour tous indices i et j , le cofacteur Δ ij
est le déterminant de taille n−1 obtenu en supprimant la i-ème ligne et la j -ème
colonne de A.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 145