Cette matrice est symétrique et tridiagonale. On vérifie facilement que l’inverse de A
est la matrice symétrique dont le coefficient en position i-ème ligne, j -ème colonne
est − 1
n + 1
i(n + 1 − j) si i j et − 1
n + 1
j(n + 1 − i) si i > j.
2. Déterminants
Nous allons présenter la notion de déterminant d’une matrice carrée : c’est un outil
théorique puissant, notamment pour caractériser les matrices inversibles.
2.1 Déterminant d'une matrice carrée de taille 1, 2 ou 3
Définitions
® Le déterminant d’une matrice [a] de taille 1 est le scalaire a.
® Le déterminant de la matrice A =
a b
c d
est le nombre ad − bc. On le note
det A ou
a b
c d
.
On a l’égalité
a b
c d
d −b
−c a
=
ad − bc
0
0
−bc + ad
= (ad − bc)I 2 = (det A)I 2 . Il
s’ensuit que si det A n’est pas nul, alors la matrice A est inversible et
a b
c d
−1
=
1
ad − bc
d −b
−c a
On a det I 2 = 1 et les propriétés immédiates suivantes.
i) Si les colonnes de la matrice A sont égales, alors le déterminant est nul.
ii) Le déterminant est additif par rapport à chaque vecteur-colonne :
a + a
b
c + c
d
=
a b
c d
+
a
b
c
d
et
a b + b
c d + d
=
a b
c d
+
a b
c d
.
iii) Si l’on multiplie une colonne par un scalaire λ, alors le déterminant est multiplié
par λ : en effet, on a
λa b
λc d
= λ
a b
c d
=
a λb
c λd
.
Définition
Le déterminant de la matrice A =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
est le nombre
det A =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
= a 11
a 22 a 23
a 32 a 33
− a 12
a 21 a 23
a 31 a 33
+ a 13
a 21 a 22
a 31 a 32
Dans cette expression, les coefficients de A en facteur des déterminants sont ceux de
la première ligne : on dit qu’on a développé le déterminant selon la première ligne.
144 – D ´
ETERMINANTS